Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 68

, откуда, измерив |BO|, можно найти |AB|, а потому и высоту трубы, которая примерно втрое больше |AB|).

Рис. 11

Задача 5. Построить квадрат, вписанный в данный сектор (две вершины квадрата лежат на одном радиусе, третья – на другом, четвертая – на дуге сектора).

Решение. Пусть ABCD и A_>1B_>1C_>1D_>1 (рис. 12) – два квадрата, вписанные в угол MON. При гомотетии с центром O, переводящей точку B в B_>1, (коэффициент этой гомотетии равен k = |OB_>1|/|OB|), отрезок AB переходит в отрезок A_>1B_>1, а потому квадрат ABCD переходит в квадрат A_>1B_>1C_>1D_>1 (поскольку углы, а также отношение отрезков сохраняются). Из этого вытекает, что вершины C и C_>1, лежат на одном луче, исходящем из точки O. Теперь ясно, что, построив какой-нибудь квадрат ABCD, вписанный в угол MON, и проведя луч OC, мы сможем найти вершину C' искомого квадрата (т.е. точку пересечения луча OC с дугой MN сектора), а затем достроить искомый квадрат (рис. 13).

Рис. 12

Рис. 13

Преобразование f плоскости α называется подобием с коэффициентом k>0, если для любых точек A,B плоскости α расстояние между точками f(A) и f(B) равно k·|AB|. Любое подобие (как и гомотетия – частный случай подобия) сохраняет углы, а также отношение длин, т.е. сохраняет форму фигур. Однако, в отличие от гомотетии, подобие может переводить прямую l в прямую l', не параллельную ей.

На рис. 14 изображены два плана P и P_>1, одного и того же участка местности, выполненные в разных масштабах и по-разному лежащие на плоскости. Эти планы представляют собой подобные, но не гомотетичные фигуры; например, прямая AB и соответствующая ей прямая A_>1B_>1 не параллельны. Чтобы получить план P_>1, исходя из плана P, можно поступить так: сначала повернуть план P, чтобы его стороны стали параллельными сторонам плана P_>1, а затем применить гомотетию. Иначе говоря, план P_>1, подобный P, получается из P при помощи композиции движения (поворота) и гомотетии.

Рис. 14

Указанное обстоятельство является общим, т.е. всякое подобие g представляется в виде композиции h ∘ f, где f - движение, а h - гомотетия. Из этого ясно, что при решении задач методом подобия можно ограничиваться лишь рассмотрением гомотетии (сопровождаемой некоторым движением). Это имеет определенные удобства: вспомните, с каким напряженным вниманием отыскиваются соответственные стороны по-разному расположенных подобных треугольников при выписывании равенства отношений сторон (и с какой легкостью выписываются эти отношения для гомотетичных треугольников).

Задача 6. Стороны треугольника ABC связаны соотношением a^>2 = c(b+c). Доказать, что угол