Энциклопедический словарь юного математика (Савин) - страница 67

и параллельного переноса, вектор которого параллелен l (рис. 8).

Рис. 5

Рис.6

Рис. 7

Рис. 8

Французский механик и геометр XIX в. М. Шаль сформулировал следующую теорему: всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом; всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой, либо скользящей симметрией.

Задача 4. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями представляет собой поворот.

Решение. Пусть s_>1 и s_>2 - осевые симметрии, оси которых (прямые l_>1 и l_>2) пересекаются в точке O. Так как оба движения s_>1,s_>2 меняют ориентацию, то их композиция s_>2 ∘ s_>1 (сначала выполняется s_>1, затем s_>2) является движением, сохраняющим ориентацию. По теореме Шаля, s_>2 ∘ s_>1 есть либо параллельный перенос, либо поворот. Но так как при каждом движении s_>1,s_>2 точка O неподвижна, то и при их композиции точка O остается на месте. Следовательно, s_>2 ∘ s_>1 есть поворот вокруг точки O. Как найти угол поворота, понятно из рис. 9: если φ - угол между прямыми l_>1 и l_>2, то (поскольку точка A ∈ l_>1 переводится движением s_>1 в себя, а движением s_>2 - в симметричную относительно l_>2 точку B) движение s_>2 ∘ s_>1, переводящее A в B, представляет собой поворот (вокруг точки O) на угол 2φ.

Рис. 9

Следующую по важности группу геометрических преобразований плоскости составляют преобразования подобия. Наиболее простое из них – гомотетия. Напомним, что гомотетией с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку A переводит в такую точку A', что

 (рис. 10). Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность снова переводит в окружность. Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в |k| раз: если при гомотетии точки A,B переходят в A'B', то |A'B'| = |k|·|AB|. Из этого вытекает, что гомотетия сохраняет форму (но не размеры) фигур; если, например, k > 1, то фигура F', в которую переходит фигура F при гомотетии с центром O и коэффициентом k, представляет собой увеличенную копию фигуры F (рис. 10), а если 0 < k < 1 - уменьшенную копию.

Рис. 10

Поскольку при гомотетии все длины изменяются в одинаковое число раз, отношение длин не меняется. На этом основаны различные способы оценки расстояний; например, зная длину руки и длину большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к расстоянию до него (на рис. 11 имеем |AB| : |BO| = |A'B'| : |B'O|