Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры (Беллос) - страница 122
Радиан
На интуитивном уровне невозможно понять, что означает возвести число (например, число е) в мнимую степень. Однако Эйлер понял, что это можно сделать алгебраическим способом, воспользовавшись представленным выше бесконечным рядом для ex. Например, если мы подставим ix вместо x, получится следующее уравнение:
Убрав скобки, получим такое уравнение:
Мы можем еще больше упростить это уравнение, поскольку по определению i>2 = −1:
i>3 = i × i × i = i>2 × i = –1 × i = –i,
i>4 = i>2 × i>2 = –1 × –1 = 1,
i>5 = i>4 × i = 1 × i = i,
i>6 = –1
И так далее.
Другими словами, вместо членов ряда i>2, i>4, i>6, i>8 … мы можем подставить значения −1, 1, −1, 1 …, а вместо i>3, i>5, i>7, i>9 … — −i, i, −i, i … Следовательно, уравнение можно записать так:
Закономерность легче увидеть, если выделить мнимые члены жирным шрифтом:
Этот ряд можно преобразовать так:
Но ведь это в точности те же члены, что и в представленных выше уравнениях для косинуса и синуса x:
e>ix = cos x + i sin x
Возведение числа е в мнимую степень позволило Эйлеру найти тригонометрические функции. Другими словами, он взял две знакомые, но не связанные друг с другом концепции, перемешал их — и как по мановению волшебной палочки появилось нечто неожиданное: две еще более привычные концепции из области, которая считалась совершенно не имеющей отношения к данной ситуации. Занимаясь математикой, порой испытываешь ощущение, будто это алхимия.
В завершение Эйлер сказал: пусть x = π, что в радианной мере эквивалентно 180 градусам. Поскольку cos π = cos 180° = –1, а sin π = sin 180° = 0, мнимый член ряда исчезает.
e>iπ = cos π + i sin π
Это сокращается до следующей формулы:
e>iπ = –1
Или:
e>iπ + 1 = 0
По всей вероятности, именно благодаря революционной работе Эйлера с мнимыми числами они оказались в центре математики, где с тех самых пор и остаются. Но, несмотря на это, для Эйлера и его современников мнимые числа по-прежнему были экзотическими, непостижимыми чудовищами. Само их название, которое подразумевало, что они не существуют, являлось серьезным препятствием, мешавшим их полному принятию. В начале XVIII века Готфрид Лейбниц сказал, что √–1 — это «почти что амфибия между бытием и небытием». Возможно, математика развивалась бы быстрее, если бы вместо термина «мнимые числа» в словарь вошло название «числа-амфибии».
Мы с вами уже знаем, что математики полностью освоились с концепцией отрицательных чисел лишь тогда, когда смогли увидеть их на бумаге в виде точек, отображенных на числовой оси. То же самое произошло и с мнимыми числами. Философские опасения по поводу комплексных чисел исчезли только после изобретения простого способа визуальной интерпретации этой концепции.