Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры (Беллос) - страница 123

Представленная на рисунке ниже комплексная плоскость образована вертикальной числовой осью, на которой откладываются мнимые числа, и горизонтальной числовой осью, на которой откладываются действительные числа (как оси х и у в обычной системе координат). Комплексное число a + bi — это точка на комплексной плоскости с координатами (a, b) — a по горизонтальной оси, b — по вертикальной. На рисунке я отметил число 3 + 2i, другими словами — точку с координатами (3, 2). Комплексная плоскость — достаточно простая идея, но тем не менее все три ее автора независимо друг от друга работали где-то на периферии сообщества самых влиятельных математиков того времени: Каспер Вессель, землемер из Копенгагена; Жан Робер Арган, счетовод из Парижа, и аббат Эдриан-Кантен Буэ, французский священник, который сбежал от революции и поселился в городе Бат. Тот факт, что ни один из великих математиков той эпохи не предложил идею комплексной плоскости, говорит об их зависимости от доктрины о том, что мнимые числа существуют только в воображении.

Комплексная плоскость

Комплексная плоскость стала блестящим открытием. Она не только представляет собой схему, на которой может быть отмечено местоположение комплексных чисел, но и углубляет наше понимание того, как ведут себя эти числа.

Возьмем какую-либо элементарную сумму, скажем 1 плюс 3 + 2i. Ответ: 4 + 2i.

Или прибавим i к числу 3 + 2i. Ответ: 3 + 3i.

А теперь посмотрите на рисунок ниже. Прибавление 1 к точке 3 + 2i перемещает нас на одну единицу по горизонтальной оси, а прибавление i — на одну единицу вверх по вертикальной.

Чем больше единиц я прибавляю, тем дальше продвигаюсь по горизонтали, а чем больше i — по вертикали. На самом деле сложение комплексного числа a + bi эквивалентно перемещению на a единиц вдоль действительной оси и на b единиц вверх по мнимой оси. Такое геометрическое передвижение обозначается термином «параллельный перенос».

А теперь давайте перейдем к умножению комплексных чисел. Если мы возьмем число 3 + 2i и умножим его на 1, получится то же самое, 3 + 2i. Иначе и быть не может, ведь так всегда происходит с умножением на 1. Но когда мы умножим это число на i, произойдет нечто интересное. Давайте умножим 3 + 2i на i:

(3 + 2i) × i = 3i + 2i^>2 = 3i – 2 = –2 + 3i

Посмотрите на представленный ниже рисунок. Точка 3 + 2i сместилась на 90 градусов относительно 0 против часовой стрелки.

Если мы умножим новую точку −2 + 3i на i, точка на комплексной плоскости, которую описывает это число, повернется на четверть оборота вокруг начала координат. Если мы умножим на