Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры (Беллос) - страница 129
Если мы начнем с 1, то получим следующие значения:
1 → 1>2 = 1
1 → 1
1 → 1
Другими словами, эта последовательность состоит из бесконечного количества единиц.
Если начнем с 2, последовательность будет такой:
2 → 2>2 = 4
4 → 16
16 → 256
256 → 65536 → …
Эта последовательность стремится к бесконечности.
Если же последовательность начинается со значения 0,1, тогда мы получим:
0,1 → (0,1)>2 = 0,01
0,01 → 0,0001
0,0001 → 0,00000001 → …
Эта последовательность стремится к нулю.
Мы можем обобщить поведение всех чисел, принимающих участие в этой итерации. Если положительное число n больше 1, его квадрат n>2 больше n, а значит, числа, полученные посредством итерации, становятся все больше. Если положительное число n меньше 1, тогда n>2 составляет долю от n, то есть числа, полученные посредством итерации, все время уменьшаются и стремятся к нулю. Поскольку квадрат отрицательного числа — это положительное число, все числа меньше −1 стремятся к бесконечности, а все отрицательные числа от −1 до 0 — к нулю.
Назовем числа, которые стремятся к бесконечности, словом «беглецы», а числа, которые не делают этого, — словом «узники». В случае итерации x → x>2 мы видели, что число 2 — это беглец, а числа 1 и 0,1 — узники. В оставшейся части главы мы будем искать узников любой итерации, которых обозначим как «множество узников». В итерации x → x>2 множество узников — это числа от −1 до 1; на представленном ниже рисунке они отмечены жирной линией.
Множество узников итерации x → x>2
Рассмотрим новую итерацию x → x>2 + c, где c — исходное значение итерации. Другими словами, наша система с обратной связью поглощает немного больше информации, чем обычно. Она начинает с числа c, возводит его в квадрат и прибавляет c, возводит результат в квадрат и прибавляет c, возводит результат в квадрат и прибавляет c и т. д. Это небольшое изменение правил влечет за собой серьезные последствия в плане определения того, какие исходные значения относятся к узникам, а какие — к беглецам.
Начнем с числа 1, которое, как мы выдели выше, является узником в итерации x → x>2. В случае итерации x → x>2 + c оно становится беглецом (обратите внимание, что мы начинаем с 1, а значит, c = 1):
1 → 1>2 + 1 = 2
2 → 2>2 + 1 = 5
5 → 26
26 → 677 → 458330 → …
А теперь давайте посмотрим, что произойдет с числом −2, которое является беглецом в итерации x → x>2. В случае итерации x → x>2 + c оно превращается в узника (обратите внимание, что мы начинаем с −2, значит, c = −2):
–2 → –2>2 – 2 = 2
2 → 2>2 –2 = 2
2 →2
2 →2
…
Оказывается, в итерации x → x>2 + c множество узников содержат числа от −2 до 0,25, как показано на рисунке ниже.