Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры (Беллос) - страница 142
Градиент параболы, изображенной на верхнем левом рисунке, — прямая линия, а градиент кривой А — кривая В
Я выбрал кривую y = x>2, потому что ее производная вычисляется достаточно просто, но метод Ньютона применим ко всем гладким кривым при условии наличия уравнения, описывающего соответствующую кривую. На верхнем рисунке справа показана еще одна кривая, а ниже — кривая ее градиента, или производной. Но здесь я опустил уравнения этих кривых и просто назвал их А и В — мне хотелось бы, чтобы вы прочувствовали всю красоту данной трансформации. Градиент кривой А в каждой ее точке изображен на нижнем графике в виде кривой В. Давайте совершим путешествие по кривой А слева направо. Эта кривая повышается, достигает вершины, опускается, доходит до нижней точки, а затем снова поднимается. Другими словами, градиент имеет положительное значение, достигает нуля в тот момент, когда кривая на мгновение становится горизонтальной, затем принимает отрицательное значение, повышается до нуля и снова становится положительным. Но ведь именно это и происходит с кривой В! Сначала она проходит в области положительных значений, затем пересекает горизонтальную ось, переходит в область отрицательных значений, а потом снова врывается в положительную плоскость. (Пунктирные вертикальные линии показывают соответствие между важными точками верхней кривой и нулевыми значениями градиента.) Когда я впервые увидел такую кривую вместе с кривой градиента, я был поражен. Мне казалось настоящим волшебством то, что изменение величины, заданное одной кривой, идеально отображается другой кривой.
Концепция бесконечно малых величин позволила разработать метод определения градиентов, а также найти способ вычисления площадей. Мы уже видели, как Архимед рассчитывал площадь, ограниченную параболой и прямой, суммируя площадь треугольников все меньшего размера, а также как математики эпохи Возрождения усовершенствовали эту методику, разделив площадь на бесконечно малые сегменты. Метод флюксий Ньютона делает возможным определение площади под кривой посредством разделения этой площади на бесконечное количество бесконечно малых вертикальных полос.
Например, зная уравнение кривой С, изображенной на рисунке ниже, с помощью исчисления мы можем вывести уравнение заштрихованной области А между началом координат и точкой х на горизонтальной оси.
Следовательно, при наличии той или иной кривой исчисление предоставляет нам две возможности: вывести уравнение ее градиента или уравнение площади под ней. Но вот что интересно: эти две процедуры носят взаимно обратный характер! Градиент и площадь — это, по сути, одно и то же явление, рассматриваемое под разными углами. Такой поворот сюжета достоин мультсериала «Скуби-Ду»: в последнем акте этой математической драмы оказывается, что два разных персонажа на самом деле представляют собой один и тот же объект. Этот результат, получивший название «основная теорема исчисления», стал одним из самых неожиданных открытий XVII столетия.