Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры (Беллос)

Беллос А. Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в мир математики. — М. : КоЛибри, Азбука-Аттикус, 2012.

Каждое целое число можно разложить на единственную совокупность простых чисел. Например, число 2763 раскладывается на 3 × 3 × 307, причем только такое сочетание простых чисел дает при умножении 2763. Утверждение о том, что каждое натуральное число можно разложить на простые делители, известно как основная теорема арифметики.

В русском прокате — «Без ума от любви». Прим. пер.

Самый показательный случай демонстрации арифметических вычислений человеком с синдромом гения (этим термином обозначают человека, страдающего расстройством аутического спектра и обладающего феноменальными способностями в какой-либо области) также связан с простыми числами. В книге «Человек, который принял жену за шляпу» Оливер Сакс рассказывает историю об американских близнецах Джоне и Майкле, любивших играть с шестизначными числами. Сакс пишет, что, когда близнецы обдумывали числа, они «напоминали двух знатоков вин, обнаруживших во время дегустации редкий букет и смаковавших его». Когда Сакс проверил эти числа, он увидел, что все они простые, — и решил поднять планку, предложив близнецам восьмизначное простое число. Это вдохновило близнецов, и они начали придумывать все большие простые числа. Через час они дошли до двадцатизначных чисел — но к тому времени у Сакса уже не было возможности проверить, действительно ли эти числа простые.

Алан Снайдер из Сиднейского университета убежден, что у всех людей есть ментальный механизм для выполнения вычислений, которые делают люди с синдромом гения, но из-за специфики устройства нашего мозга доступ к этому механизму при обычных условиях затруднен. С помощью экспериментов Снайдер продемонстрировал, что математическое мышление человека поддается улучшению, если воздействовать на мозг слабым электрическим током (этот метод получил название «транскраниальная микрополяризация»). Снайдер считает, что электрический ток угнетает активность нейронной системы, что, в свою очередь, высвобождает гения, живущего в каждом из нас. Хотя исследования Снайдера носят спорный характер, аналогичные результаты были получены и в других университетах.

Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.

Винсент Хоппер. Числовая символика Средневековья. Тайный смысл и форма выражения. М. : Центрполиграф, 2014.

Перевод М.М. Морозова. Прим. пер.

Кроме слова odd в значении «необычный, чудаковатый», математика стала источником еще одного обозначения для человека со странностями — eccentric («эксцентричный»). Первоначально под этим словом имелась в виду орбита вокруг Земли, центр которой расположен не в той же точке, что и сама Земля.

Слово odd происходит от скандинавского oddr — «острие копья». От формы копья произошло и древнеисландское слово oddi — треугольник, или полуостров. («Одди» — это также название церковной школы на севере Исландии, в которой жил в XII веке великий исландский поэт и историк Снорри Стурлусон и которая в наше время стала туристической достопримечательностью.) Именно из-за треугольника у слова odd появилось такое значение, как непарный член группы из трех человек, а затем и член любой группы. (Источники: Oxford English Dictionary, а также Анатолий Либерман, Oxford University Press, blog.oup.com/category/language-words/oxford_etymologist/.)

Перевод Ю. Корнеева. Прим. пер.

Yutaka Nishiyama, Odd and Even Number Cultures, Mathematics for Scientists, 2005.

Yutaka Nishiyama, Why

Lee C. Simmons and Robert M. Schindler, Cultural Superstitions and the Price Endings Used in Chinese Advertising, Journal of International Marketing, 2003.

Terence M. Hines, An odd effect: Lengthened reaction times for judgements about odd digits, Memory & Cognition, 1990.

James E. B. Wilkie and Galen V. Bodenhausen, Are numbers gendered?, Journal of Experimental Psychology: General, 2012.

Дальнейшие исследования Джеймса Уилки, результаты которых еще не опубликованы, показывают, что женщины воспринимают ассоциации с числами более выраженно, чем мужчины.

Винсент Хоппер. Числовая символика Средневековья. Тайный смысл и форма выражения. М. : Центрполиграф, 2014.

Spinal Tap — вымышленная рок-группа, которой посвящен псевдодокументальный фильм «Это — Spinal Tap». Этот фильм представляет собой пародию на привычки, внешний вид и бунтарское поведение участников популярных рок-групп. Прим. пер.

В романе Джорджа Оруэлла «1984» комната 101 — это камера пыток в Министерстве любви. Прим. пер.

Dan Dan King and Chris Janiszewski, The Sources and Consequences of the Fluent Processing of Numbers, Journal of Marketing Research, 2011.

Manoj Thomas, Daniel H. Simon, and Vrinda Kadiyali, The Price Precision Effect: Evidence from Laboratory and Market Data, Marketing Science, 2010.

Nicolas Gueguen et al., Nine-ending prices and consumers behavior: A field study in a restaurant, International Journal of Hospitality Management, 2009.

William Poundstone, Priceless, Oneworld, 2010.

Sybil S. Yang, Sheryl E. Kimes, and Mauro M. Sessarego, $ or Dollars: Effects of Menu-price Formats on Restaurant Checks, Cornell Hospitality Report, 2009.

В ресторанах самый распространенный пример того, как столбцы чисел стимулируют покупку на основании цены, а не качества продукта, — это склонность клиентов заказывать предпоследнюю по цене бутылку вина, указанную в списке. Покупка самого дешевого вина свидетельствовала бы о скупости клиента, особенно в случае романтического ужина. Поэтому многие рестораны делают самую большую наценку именно на предпоследнюю по цене бутылку вина.

Birte Englich, Thomas Mussweiler and Fritz Strack, Playing Dice With Criminal Sentences: The Influence of Irrelevant Anchors on Experts Judicial Decision Making, Personality and Social Psychology Bulletin, 2006.

Мой интернет-опрос (сайт favouritenumber.net) начался в 2011 году. На титульной странице сайта было его описание, после которого следовало два предложения: «Мое любимое число — …» и «Я выбираю его, потому что…» Респонденты могли сформулировать свои ответы словами или просто назвать цифры. Результаты, о которых идет речь на страницах этой книги, получены в ходе обработки 33 516 ответов; из них 3491 ответ был неопределенным или вообще отсутствовал. К моменту сдачи книги в печать в опросе приняли участие уже 42 000 респондентов.

Адамс Д. Жизнь, Вселенная и все остальное. М. : АСТ: Ермак, 2003.

Eviatar Zerubavel, The Seven Day Circle, Free Press, 1985.

Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.

Michael Kubovy and Joseph Psotka, The predominance of seven and the apparent spontaneity of numerical choices, Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 1976.

Существует всего восемь двузначных нечетных чисел от 1 до 50, состоящих из разных цифр, причем число 15 упомянуто в описании задачи, поэтому респондент вряд ли назовет его. Авторы книги The Psychology of the Psychic (Prometheus Books, 1980) Дэвид Маркс и Ричард Кэмменн разыграли этот трюк на занятии по психологии — и больше трети студентов выбрали число 37. Результаты были такими: число 37 (35 процентов), 35 (23), 17 (10), 39 (10), 19 (9), 31 (5), 13 (5), другие числа (3).

Dan King and Chris Janiszewski, The Sources and Consequences of the Fluent Processing of Numbers, Journal of Marketing Research, 2011.

Marisca Milikowski, Knowledge of numbers: A study of the psychological representation of the numbers 1–100, PhD thesis at the University of Amsterdam, 1995.

Domesday Book: A Complete Translation, Penguin Classics, 2003.

Simon Newcomb, Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers, American Journal of Mathematics, 1881.

Frank Benford, The law of anomalous numbers, Proceedings of the American Philosophical Society, 1938.

Число/Закон Бенфорда/Население округов/Доходы компаний

1/30,1/30,2/30,2

2/17,6/18,8/17,7

3/12,5/12,2/12,5

4/9,7/9,9/9,8

5/7,9/7,1/7,9

6/6,7/6,3/6,7

7/5,8/5,7/5,7

8/5,1/4,8/5,1

9/4,6/5/4,5

Сведения о населении округов США взяты из отчетов о результатах опроса американского общества (American Community Survey) за 2007–2011 годы. Финансовые данные — итог анализа 1,4 миллиона единиц информации из системы Compustat, выполненного Джайлан Ванг.

Scott de Marchi and James T. Hamilton, Assessing the accuracy of self-reported data: an evaluation of the toxics release inventory, Journal of Risk and Uncertainty, 2006; Walter R. Mebane Jr., Fraud in the 2009 Presidential Election in Iran?, Chance, 2010; Malcolm Sambridge et al., Benford’s law in the natural sciences, Geophysical Research Letters, 2010.

Джойс Дж. Улисс. М. : Иностранка, 2013.

Miles L. Hanley, Word Index to James Joyce’s Ulysses, University of Wisconsin Press, 1953.

George Kingsley Zipf, Human Behavior and the Principle of Least Effort, Addison-Wesley, 1949.

Слово, которое появляется в тексте только один раз, обозначается термином «гапакс легоменон» (от древнегреческого hapax legomenon — «названный только раз»). Этот термин звучит как имя персонажа одной из историй об Астериксе или название скандинавской группы в стиле Death Metal. В издании данной книги на английском языке есть только одно такое слово.

Ричард Кох. Принцип 80/20. М. : Эксмо, 2012.

Fredrik Liljeros et al., The web of human sexual contacts, Nature, 2001.

N. Johnson et al., From old wars to new wars and global terrorism, arXiv:physics/0506213, 2005.

Joao Gama Oliveira and Albert-Laszlo Barabasi, Human dynamics: Darwin and Einstein correspondence patterns, Nature, 2005.

Takashi Iba et al., Power-Law Distribution in Japanese Book Sales Market, Fourth Joint Japan-North America Mathematical Sociology Conference, 2008.

Mark Buchanan, Ubiquity, Weidenfeld & Nicolson, 2000.

Albert-Laszlo Barabasi, Linked, Perseus, 2002; Albert-Laszlo Barabasi, Bursts, Penguin, 2010.

Michael P. H. Stumpf and Mason A. Porter, Critical Truths About Power Laws, Science, 2012; Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi, and M. E. J. Newman, Power-Law Distributions in Empirical Data, SIAM Review, 2009.

В книге Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences («Беседы и математические доказательства двух новых наук») Галилей сделал следующий набросок двух костей — маленькой и тонкой, а также большой и толстой. Он писал, что у большого животного большая кость «выполняла бы ту же функцию, что и маленькая кость у маленького животного».

Компания по выпуску игрушек для собак Nylabone продает нейлоновые жевательные кости, имеющие точно такую же форму, как на представленном ниже рисунке. В компании утверждают, что эти кости (получившие название Galileo) — «самые прочные жевательные кости для собак».

Melanie Mitchell, Complexity: A Guided Tour, Oxford University Press, 2009.

Geoffrey B. West, James H. Brown, and Brian J. Enquist, A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology, Science, 1997.

Luis M. A. Bettencourt et al., Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities, PNAS, 2007.

Роб посетил 6177 геодезических знаков, расположенных в Великобритании, в том числе 45 полуразрушенных и 100 опрокинутых. Большинство геодезических столбов, которые Роб еще не видел, находятся на островах. Он издали видел два геодезических знака, размещенных на земле Министерства обороны, в том числе знак, установленный на территории базы обслуживания атомных подводных лодок в Кулпорте (Шотландия). Однако Робу не разрешили приблизиться к ним. Еще только четыре коллекционера смогли пройти 3000 геодезических знаков.

Практические аспекты предложенного Фалесом метода измерения высоты пирамид рассматриваются в статье: Thales’ Shadow’ by Lothar Redlin, Ngo Viet and Saleem Watson, in Mathematics Magazine, 2000. В частности, авторы демонстрируют, что солнечные лучи направлены перпендикулярно грани пирамиды два раза в день только весной и летом: один раз утром и один раз вечером.

Не исключено, что египтяне обладали гораздо более обширными знаниями в области математики, чем принято считать, но установить это невозможно, поскольку об этом сохранилось слишком мало информации.

Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1968.

Уточнение: не просто вписаный в полукруг, а одна сторона треугольника равна диаметру круга. Прим. ред.

В прошлом «две другие стороны» обозначались термином catheti (единственное число — cathetus), но в настоящее время в английском языке этот термин вышел из употребления. Однако в других языках он используется до сих пор: Kathete — в немецком языке, cateto — в испанском и португальском, катеты — в русском языке.

Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Dover, 1993.

Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.

Самая гибкая система с использованием единичных дробей — бинарная система, в которой дроби образуются так: половина, половина половины, половина половины половины и т. д., или

В полном виде греческая система обозначения чисел выглядела так:

α=1

β=2

γ=3

δ=4

ε=5

ς=6

ζ=7

η=8

q=9

ι=10

κ=20

λ=30

μ=40

ν=50

ξ=60

ο=70

π=80

ϙ=90

ρ=100

σ=200

τ=300

υ=400

ϕ=500

χ=600

ψ=700

ω=800

ϡ=900

Одно из значений английского слова «chord» — «струна». Прим. пер.

SOH-CAH-TOA — мнемоническое правило для запоминания формул определения синуса, косинуса и тангенса. Прим. пер.

В русской математической литературе принято обозначение тангенса как tg α. Прим. ред.

Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.

John Keay, The Great Arc, HarperCollins, 2000.

При условии, что шар не начнет вращаться.

www.lds.org/locations/temple-square-salt-lake-city-tabernacle.

Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1968.

Помимо сугубо математического, слово «парабола» имеет и другое значение, поскольку древнегреческое слово parabola означает не только «бросить рядом» (Точнее, здесь больше подходит значение «приближать», а не «бросить рядом» (это перевод авторского «to throw alongside»). Прим. ред.), но и «сравнить». В литературе парабола — это простой короткий рассказ иносказательного характера, в котором присутствует сравнение с более сложным сюжетом. От этого значения происходит французское слово parler («разговаривать») и многие английские слова, от parliament («парламент») до parole («пароль»).

Клавдий Птолемей. Альмагест. Математическое сочинение в 13 книгах. М. : Наука. Физматлит, 1998.

Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.

Математическое объяснение того, почему циклы и эпициклы позволяют описать любую замкнутую непрерывную орбиту, основано на двух концепциях, о которых я часто упоминаю в этой книге: комплексные числа и ряды Фурье. Подобно тому как волну можно разложить на синусоиды, путь в комплексной плоскости можно разложить на ряд круговых вращений.

Santiago Ginnobili and Christian C. Carman, Deferentes, Epiciclos y Adaptaciones, Filosofia e historia da ciencia no Cone Sul, 2008.

Гомер Джей Симпсон — один из главных героев мультсериала «Симпсоны». Отец семейства, где кроме него и его жены Мардж еще трое детей. Прим. ред.

Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.

Norwood Russell Hanson, Patterns of Discovery, CUP, 1961. Хэнсон начинал в качестве трубача, а во время Второй мировой войны стал летчиком-истребителем. Получив прозвище Летающий Профессор, он продолжал летать в мирное время и прославился выполнением фигур высшего пилотажа. Хэнсон погиб в возрасте 42 лет, когда его самолет разбился в штате Нью-Йорк из-за густого тумана.

David Wootton, Galileo, Watcher of the Skies, Yale University Press, 2010.

Stillman Drake and James MacLachlan, Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory, Scientific American, 1975.

Пинчон Т. Радуга тяготения. М. : Эксмо, 2012.

Декарт использовал косоугольную систему координат, а «декартова» система координат в современном понимании (с перпендикулярными осями) была предложена впоследствии другими учеными, уточнившими его систему.

A. F. Mobius, Geometrische Eigenschaften einer Factorentafel, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1841.

Rodolphe Soreau, Nomographie; ou, Traite des abaques, Chiron, 1921; Ron Doerfler, The Lost Art of Nomography, The UMAP Journal, 2009; H. A. Evesham, Origins and Development of Nomography, Annals of the History of Computing, 1986.

Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.

J. A. Bennett, The Mathematical Science of Christopher Wren, CUP, 1982.

Henry Moore and Stringed Surfaces, exhibition at the Royal Society, 2012.

Bob Palais, π is Wrong!, The Mathematical Intelligencer, 2001.

Среди исторических личностей, которые отдавали предпочтение отношению длины окружности к радиусу, был аль-Каши. Считается, что в XV столетии в Самарканде он рассчитал число π до 14 десятичных знаков, получив более точный результат, чем кто-либо еще до него. На самом деле аль-Каши вообще не рассчитывал число пи; он вычислил отношение длины окружности к радиусу до 14 десятичных знаков. В 1698 году Абрахам де Муавр использовал символ c/r для обозначения отношения длины окружности к радиусу, но оно так и не прижилось.

tauday.com.

Я бы даже сказал, что это четырежды уместно. Символ τ — это еще и дань уважения лауреату премии Филдса Теренсу Тао — профессору Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.

John Martin, The Helen of Geometry, The College Mathematics Journal, 2010; E. A. Whitman, Some Historical Notes on the Cycloid, American Mathematical Monthly, 1943; Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.

Гюйгенс создал несколько маятников с циклоидными «щеками», но из-за наличия проблем (таких как трение) они работали не лучше обычного маятника. Гюйгенс нашел следующее решение: использовать обычный маятник, но с совсем небольшим размахом, поскольку при малой амплитуде полное колебание маятника остается практически неизменным.

Да, у меня действительно есть и другие любимые математические головоломки, в том числе и с монетами. Вот одна из них. Возьмите шесть монет и разместите их так, как показано на рисунке слева. Ваша задача — расположить монеты по-новому в виде шестиугольника, перемещая их по одной. Кроме того, каждую монету можно передвигать только на такую позицию, в которой она будет соприкасаться с двумя другими. Не разрешается поднимать монету со стола, перемещать ее над другой монетой или убирать монеты с ее пути. Можете ли вы расположить монеты по-новому за три перемещения?

Если вы справились с задачей, попытайтесь разместить в один ряд выложенные треугольником монеты за семь движений, снова придерживаясь того правила, что монету можно передвигать только на такую позицию, в которой она будет соприкасаться с двумя другими.

В следующий раз, когда будете ждать заказ в баре и у вас под рукой окажется несколько свободных монет, попробуйте решить эту головоломку!

Роберваль нарисовал синусоиду на чертеже, объясняющем, как найти площадь под циклоидой. Вряд ли он знал, что эта кривая имеет какое-то отношение к тригонометрической функции синусу.

При отсутствии потерь энергии из-за трения.

Robert J. Whitaker, Harmonographs. I. Pendulum design, American Journal of Physics, 2001; Robert J. Whitaker, Harmonographs. II. Circular design, American Journal of Physics, 2001.

Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.

John Herivel, Joseph Fourier: The Man and the Physicist, Clarendon Press, 1975.

I. B. Cohen, The Triumph of Numbers, W. W. Norton & Company, 2005.

Длина бокового ребра Великой пирамиды — 229 метров, а ее высота — 146 метров. Территория Франции представляет собой прямоугольник со сторонами 770 километров с севера на юг и 700 километров с востока на запад. Сделанные с учетом этих данных расчеты показывают, что оценка Наполеона отличалась от правильной всего на 3 процента.

Ряд Фурье для любой волны записывается в виде следующей формулы:

k + a_>1 sin x + a_>2 sin 2x + a_>3 sin 3x + a_>4 sin 4x …

+ b_>1 cos x + b_>2 cos 2x + b_>3 cos 3x + 4 cos 4x + ...

где k — константа, a и b — амплитуды соответствующих синусоид.

youtube.com/watch?v=F-QA2rkpBSY.

Альберт Бартлетт умер 7 сентября 2013 года в возрасте 90 лет. Он прочитал свою лекцию 1742 раза.

Gideon Keren, Cultural differences in the misperception of exponential growth, Perception & Psychophysics, 1983.

Daniel Kahneman and Amos Tversky, Availability: A heuristic for judging frequency and probability, Cognitive Psychology, 1973.

Eli Maor, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 1994.

J. E. Hofmann, from the biography of Jakob Bernoulli in the Dictionary of Scientific Biography, Scribner, 1970.

William Dunham, Journey Through Genius, Penguin, 1991.

Santiago Huerta, Structural Design in the Work of Gaudi, Architectural Science Review, 2006.

Ed Sandifer, How Euler Did It’, MAA Online, 2004.

Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.

Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.

Было изучено много разных вариантов этой задачи, в частности как изменится вероятность в случае, если человек, проводящий собеседование, сможет повторно назначать его некоторым кандидатам, или как наем первого же кандидата позволит сэкономить деньги. Даррен Гласс проанализировал задачу о выборе секретаря с точки зрения кандидата на должность (см. статью Darren Glass examined The Secretary Problem from the Applicant’s Point of View, in The College Mathematics Journal, 2012). Если количество кандидатов не менее девяти, то лучше всего приходить на собеседование последним. Но в этом случае не остается возможности исправить ошибку. «Приход на собеседование последним обеспечивает максимальный шанс получить работу, но если вы окажетесь предпоследним, то такая вероятность становится самой низкой, — пишет Гласс. — Студентам, выходящим на рынок труда, следует вкладывать всю свою энергию в улучшение резюме, а не в создание стратегии выбора оптимального момента для собеседования».

Борис Березовский умер 23 марта 2013 года в возрасте 67 лет.

Theodore Hill, Knowing When to Stop, American Scientist, 2009.

«Cool Cash» card confusion, Manchester Evening News, 2007.

Евклид. Начала. М. : Либроком, 2014.

Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.

Абсурдное число (numeri absurdi) не следует путать с термином surd, обозначающим иррациональное число, то есть число, которое не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел. Древние греки использовали для обозначения иррациональных чисел слово alogos, что означало «нет соотношения». Однако это слово означало также «не говорящий», что арабы перевели как assam, или «глухой». В латинских текстах употреблялось слово surdus, прямой перевод слова «глухой» с арабского. Вот так получилось, что иррациональные числа стали «глухими» числами, или surds.

Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.

Alberto A. Martínez, Negative Math, Princeton University Press, 2006.

William Frend, The Principles of Algebra, G. G. and J. Robinson, 1796. В книге был разрешен знак минус, но запрещалось, чтобы неизвестные величины (которые могли обозначать нечто реальное) принимали отрицательные значения.

Френда больше всего помнят как социального реформатора и радикала. После получившего широкую огласку разбирательства его исключили из Кембриджа за обвинения в адрес англиканской церкви. Среди последователей Френда был Сэмюел Тэйлор Кольридж. Дочь Френда София (которая вышла замуж за выдающегося математика Огастеса де Моргана) писала о своем отце, что «возможно, именно ясность и прямота мышления повлекли за собой его математическую ересь, отказ от использования отрицательных величин в алгебраических операциях», прибавив, что «по всей вероятности, этим он лишил себя того инструмента работы, применение которого могло привести его к значительным достижениям в более высоких областях науки».

Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, Princeton University Press, 1998.

Эйлер первым обозначил √–1 символом i, но он использовал его всего один раз, в научной статье, которая была опубликована через 11 лет после его смерти. Другие ученые начали систематически использовать символ i только после того, как в 1801 году его принял Гаусс.

Строго говоря, это неверно, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определен. Математически строгое определение числа і: это такое число, квадрат которого равен –1. Прим. ред.

Умножение комплексных чисел выполняется по обычным арифметическим правилам. Я не буду приводить здесь доказательство, но мы можем предположить, что для любых чисел a и b, действительных или мнимых, выполняется равенство: (a + b)^>2 = a^>2 + 2ab + b^>2. Следовательно, если

Еще одно решение уравнения x^>2 = i выглядит так:

что обратно решению, приведенному в тексте.

Ed Leibowitz, The Accidental Ecoterrorist, Los Angeles Magazine, 2005.

Джеймс Томсон, с которым мы встретимся в главе 8, ввел термин «радиан» в 1873 году, хотя сама концепция была известна к тому времени уже полтора столетия.

Волновое уравнение Шредингера выглядит так:

где i = √–1, ћ — приведенная константа Планка, Ψ — волновая функция квантовой системы, Ĥ — оператор Гамильтона.

Melanie Bayley, Algebra in Wonderland, The New York Times, 2010.

John C. Baez and John Huerta, The Strangest Numbers in String Theory, Scientific American, 2011.

Bertrand Russell, The Study of Mathematics, Mysticism and Logic: And Other Essays, Longman, 1919. Бертран Рассел — единственный математик мирового уровня, получивший Нобелевскую премию по литературе. Однако диплом по математике был и у Александра Солженицына (Нобелевская премия за 1970 год), и у Джона Максвелла Кутси (2003 год).

Дэйв Болл публиковал свои статьи не в журнале, а на форуме, посвященном фракталам: groups.google.com/forum/?hl=en#!topic/sci.math/jHYDf-Tm0-8.

В 2001 году правительство Норвегии учредило ежегодную Абелевскую премию, названную в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802–1829). Ее денежный размер составляет около 1 миллиона долларов. Хотя эта премия аналогична Нобелевской по размеру и скандинавскому происхождению, она пока не заслужила такой репутации, как Филдсовская премия.

gowers.wordpress.com.

Plutarch, Life of Marcellus, цитируется по материалам онлайнового архива истории математики MacTutor.

Carl B. Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, 1959.

Большой треугольник строится таким образом, чтобы касательная, проведенная в его нижней вершине, была параллельна исходной прямой. Точно так же при построении каждого нового треугольника его вершина размещается так, чтобы касательная в этой точке была параллельна противоположной стороне.

Ernst Sondheimer and Alan Rogerson, Numbers and Infinity, Dover, 2006.

James Gleick, Isaac Newton, Harper Perennial, 2003.

Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М. : ЛКИ, 2014.

Ian Stewart, 17 Equations that Changed the World, Profile Books, 2012; Charles Seife, Zero, Souvenir Press, 2000.

A. Rupert Hall, Philosophers at War, Cambridge University Press, 2002.

Augustus De Morgan, A Budget of Paradoxes, 1872.

Функция f(t, x, v) — это функция плотности вероятностей, которая определяет вероятность того, что частица окажется рядом с х при скорости v в момент времени t. Символом ∇ обозначается градиент, но применительно к нескольким переменным. Cédric Villani, Théorème vivant, Grasset, 2012.

The Railroad Gazette (now Railway Age), 1880, цитируется по изданию: Halsey G. Brown, The History of the Derivation of the AREMA Spiral, arema.org.

Клотоида — это кривая, кривизна которой пропорциональна длине. В алгебраической форме это можно записать так: кривизна = ks, где k — произвольная константа, s — расстояние вдоль кривой от начала координат. Бельгийский математик Фрэнки Диллен создал целый новый класс спиралей, рассчитывая их кривизну по формуле, представляющей собой многочлен с переменной s. (Многочлен, или полином, — это выражение, состоящее из переменных и степеней переменных, в котором используются только операции сложения, вычитания и умножения.) Диллен назвал эти кривые «полиномными спиралями». Они очень красивы; одна из любимых кривых Диллена — так называемая спираль Пикассо.

Кривизна = 10 (−45 + 51s −18s^>2 + 2s^>3)

Эта кривая также известна под названием «спираль Корню». Прим. ред.

Joe Moran, On Roads, Profile Books, 2009.

Robert Cartmell, The Incredible Scream Machine, Amusement Park Books, 1987; Chemin de Fer Aerien, La Nature, 1903.

Прежде чем открыть для публики аттракцион с мертвой петлей, было проведено три испытания: первое — с обезьянами в качестве пассажиров, второе — с грузом тяжелее веса крупного человека и третье — с участием акробата.

George Berkeley, The Analyst: Or, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician, 1734.

Steven G. Krantz, The Proof is in the Pudding, Springer, 2011.

Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.

Львов (укр. Львів) находится сейчас на территории Украины.

В период написания книги лучшими кандидатами на звание самого скучного числа было число 224, которое являлось в то время наименьшим числом, не имеющим своей страницы в «Википедии», и 14 228, наименьшее число, которого не было в онлайновой Энциклопедии целочисленных последовательностей (Encyclopedia of Integer Sequences). Но поскольку об этих числах написано здесь, они стали интересными.

Харди Г.Г. Апология математика. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

Если количество точек на линии окружности равно n, то количество секторов рассчитывается по формуле

В отличие от Фреге, некоторые специалисты по философии математики считают, что утверждение «отрицание отрицания утверждения А есть утверждение А» содержит глубокое противоречие.

Douglas R. Hofstadter, Metamagical Themas, Basic Books, 1996.

Martin Gardner, Logical Paradoxes, The Antioch Review, 1963.

John Allen Paulos, I Think, Therefore I Laugh, Penguin, 2000.

Одна из главных целей теории множеств состояла в том, чтобы доказать полноту математики. Другими словами, чтобы доказать, что, если теорема истинна, значит, она доказуема в рамках данной системы. Однако в 1931 году Курт Гедель доказал, что на самом деле это не так: в любой системе, достаточно мощной, чтобы включать в себя арифметику, обязательно найдутся утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Работа Геделя оказала существенное влияние на математическую философию, поскольку ограничила сферу действия логики в качестве основы для математики.

Николя Бурбаки. Теория множеств. М. : Либроком, 2010. Интересно то, что Бурбаки ни разу не упоминает имя Курта Геделя (см. предыдущее примечание).

Реми Ж. Приключения Тинтина. Голубой лотос. СПб. : Азбука-Аттикус, 2013.

Полдавия (фр. Poldèvie) — это шуточная страна, придуманная в 1929 году одним французским журналистом с правыми убеждениями и упомянутая в письме членам парламента левого крыла, в котором он от имени угнетенного народа Полдавии просит их вмешаться. После того как группа Бурбаки сделала Полдавию своей родиной, эта шутка начала часто появляться в работе нескольких французских писателей послевоенного периода. Профессор французского языка и литературы Принстонского университета и отец автора этой книги Дэвид Беллос сказал, что это «редкий пример того, как математический юмор стал темой литературных произведений».

Maurice Mashaal, Bourbaki, American Mathematical Society, 2006.

A. R. D. Mathias, A term of length 4,523,659,424,929, Synthese, 2002.

Bob Moon, Who Controls the Curriculum? The story of New Maths 1960–1980, International Perspectives in Curriculum History, 1987.

В настоящее время насчитывается более десятка систем для проверки доказательств; самые известные — Coq, HOL Light, Isabelle и Mizar. Систему Mizar в 1970-х годах начали разрабатывать в Польше; ее пользователи утверждают, что она содержит самую крупную логически связную базу формализованных доказательств.

Имеется в виду, что можно доказать все математические утверждения, которые в принципе доказуемы (см. примечание о Геделе).

Steven G. Krantz, The Proof is in the Pudding, Springer, 2011.

Теорема. Если для нахождения простых чисел просеиваются n чисел, то в этом случае достаточно проанализировать на наличие простых чисел числа, не превышающие √n.

Доказательство. Представьте, что вы перебрали все простые числа до √n включительно, но осталось незачеркнутым непростое число m, которое находится между √n и n. Число m не является простым, тогда у него должны быть простые множители, причем больше √n. (Иначе это число было бы вычеркнуто на предыдущих этапах.) Однако произведение двух или более чисел, больших √n, — это число, которое больше n, а значит, число m не может быть меньше n, что и требовалось доказать (Эта теорема говорит о том, что на интервале от √n до n остались только простые числа. Прим. ред.).

Одним из его любимых названий было: «Не звоните нам, мы сами вам позвоним!»

Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.

Если кто-то захочет сыграть в игру «Жизнь» (а я настоятельно рекомендую сделать это), лучше всего воспользоваться программой Golly, которую можно скачать здесь: golly.sourceforge.net.

Steven Levy, Hackers, O’Reilly Media, 2010.

Слово hack («рубить», «кромсать») впервые было использовано в клубе любителей моделей железных дорог, функционировавшем в МТИ, для обозначения переделки моделей исключительно ради удовольствия, однако впоследствии так начали называть любые действия по усовершенствованию компьютерных программ. Только много лет спустя слово «хакер» приобрело современное значение — компьютерный злоумышленник.

Первое решето Эратосфена создал Дин Хикерсон в 1991 году. Решето, которое упомянуто здесь, — это усовершенствованная версия, разработанная Джейсоном Саммерсом в 2005 году.

William Poundstone, The Recursive Universe, Oxford University Press, 2005.

Когда эта книга уже ушла в печать, американский «жизнелюб» (любитель игры «Жизнь») Дэйв Грин объявил о получении новой самовоспроизводящейся фигуры, в которой количество живых клеток конструктора сократилось с 16 229 (как у «Джемини») до 256. Он назвал эту конфигурацию «репликатор Джеминоид», поскольку в нем используется ряд элементов той же технологии, что и у «Джемини». Однако, в отличие от «Джемини», у этой фигуры всего один конструктор, который выживает после создания копии, а не два, которые разрушаются, выполнив свою функцию. Репликатор «Джеминоид» порождает точную копию, которая порождает очередную точную копию и так далее до бесконечности, создавая линию потомков, распространяющуюся по всей сетке. Учитывая, что конструктор состоит из такого малого количества живых клеток, это облегчает построение новых конфигураций. Дэйв надеется на то, что технология «Джеминоида» приведет к появлению множества репликаторов новых типов.

Stephen Wolfram, A New Kind of Science, Wolfram Media, 2002.

Вообще-то в математической литературе десятичный логарифм обозначается как lg. Но оставим обозначение автора без изменений. Прим. ред.

Это связано также с тем, что второй член в разложении ln(1 + r) равен –х^>2/2 и поэтому ln2/ln(1 + r) > ln2/r = 69/R. Прим. ред.