Эксперименты Алисы и Боба с замедлением времени помогают проиллюстрировать эйнштейновский принцип эквивалентности. В простейшей форме этот принцип состоит в том, что действие ускорения неотличимо от действия тяготения.
Ключ к разрешению исходной, негравитационной формы парадокса близнецов состоит в том, что именно Алисе приходится испытывать ускорение при развороте для возвращения к Бобу. Если мы позаботимся о том, чтобы это ускорение было медленным и постоянным, а не резким, тогда оно будет эквивалентно тому, что Алиса проведет все свое путешествие в гравитационном поле. Главная же особенность гравитационного варианта парадокса близнецов заключается в том, что Алиса проводит свои выходные в состоянии свободного падения, в то время, как Боб свои – в гравитационном поле. Таким образом, в этих двух версиях парадокса Алиса и Боб, по сути, меняются ролями.
Более рутинный пример принципа эквивалентности – это когда в лифте мы чувствуем себя тяжелее, если лифт с ускорением поднимается вверх, и легче, если он с ускорением опускается. Если лифт с ускорением поднимается в пустом пространстве в отсутствие каких-либо гравитирующих тел поблизости, то наши наблюдения внутри лифта идентичны тем, которые мы проводим, когда лифт остается покоящимся в гравитационном поле Земли. Точно так же, если лифт свободно падает в гравитационном поле Земли, мы испытываем такую же невесомость внутри него, какую мы бы испытывали, если бы свободно висели в пустом космическом пространстве.
Чтобы вернуться обратно к уравнениям Эйнштейна, наберемся храбрости и назовем скорость хода времени ее правильным математическим именем: функция хода. Другими словами, функция хода – это скорость, с которой время идет в любой заданной точке пространства. Правило вычисления функции хода в присутствии произвольно распределенных медленно движущихся масс дается дифференциальным уравнением, похожим на одно из уравнений Максвелла. Зная функцию хода, мы можем затем обратиться к принципу оптимального собственного времени для определения траектории массивного тела под воздействием гравитационного поля.
Дифференциальные уравнения для вычисления функции хода в присутствии медленно движущихся масс являются, вообще говоря, частным случаем одного из уравнений Эйнштейна. Существует еще девять функций, похожих на функцию хода, которые в совокупности полностью определяют форму искривленного пространства-времени, и для каждой из них можно составить эйнштейновское уравнение поля. То, что все эти десять функций совместно определяют, называется метрикой пространства-времени – это правило вычисления расстояния между соседними точками, а также скорости течения времени. Как только мы начинаем говорить о метриках, мы оказываемся на территории дифференциальной геометрии, которая изучает произвольно искривленные поверхности. В общей теории относительности используются и геометрии искривленных поверхностей высших порядков, в том числе искривленного пространства-времени.