Излучение Хокинга – наиболее знаменитое термодинамическое свойство черных дыр. Однако не менее важно для них понятие энтропии Бекенштейна – Хокинга, названной в честь Якоба Бекенштейна и Стивена Хокинга. Вспомним, что энтропия – это мера количества доступных системе квантовых состояний, а точнее, логарифм этого количества. Самое важное свойство энтропии заключается в том, что в ходе физических процессов она никогда не уменьшается, а, как правило, увеличивается. Другим ее важным свойством является то, что энтропия объединения двух систем не может превосходить сумму энтропий этих систем по отдельности. В обычном веществе мы, как правило, обнаруживаем, что энтропия целого равна сумме энтропий частей. Например, энтропия двух обычных чашек воды при комнатной температуре вдвое больше энтропии одной чашки. Если две системы запутаны, тогда их объединенное квантовое состояние может быть точно известно, и в этом случае они как целое вообще не имеют энтропии; и все же каждая из них сама по себе может обладать значительной энтропией!
В случае черных дыр энтропия оказывается равной площади горизонта, деленной на постоянную, связанную с силой тяготения. Она вычисляется по формуле S = A/4G>N, где G>N – постоянная Ньютона, которая появляется и в уравнениях Эйнштейна. Эта формула столь много значит в теории черных дыр, что она обычно называется законом площадей. Из теорем классической общей теории относительности следует, что в ходе таких процессов, как столкновения черных дыр, общая площадь горизонтов черных дыр должна расти. Этот результат легко понять как версию второго начала термодинамики в приложении к черным дырам. При этом важно не забывать, что эти теоремы остаются классическими, то есть они справедливы только при отсутствии квантовых эффектов, таких как излучение Хокинга. Действительно, излучение Хокинга приводит к тому, что черные дыры медленно теряют массу, что означает уменьшение площади их горизонтов, однако этот процесс протекает крайне медленно.
Закон площадей говорит о том, что термодинамика черных дыр весьма отличается от термодинамики обычного вещества. И в самом деле, обычное вещество обычно имеет энтропию, пропорциональную объему. Вспомним, например, что две чашки воды обычно имеют энтропию, равную двойной энтропии одной чашки. Мы могли бы с тем же основанием утверждать, что энтропия воды пропорциональна ее массе, так как масса двух чашек воды равна удвоенной массе одной чашки. Пропорциональность энтропии черных дыр их площади, по-видимому, свидетельствует о том, что большие черные дыры имеют гораздо меньшую энтропию, чем мы могли бы наивно предполагать на основании информации об их объемах, но гораздо большую, чем на основании их масс. Чтобы проверить, насколько это предположение оправдывается, рассмотрим слияние двух черных дыр, каждая из которых имеет массу, равную солнечной, в одну. Наш мысленный эксперимент будет грубым, так как мы собираемся проигнорировать выброс гравитационных волн, который, как мы знаем из главы 6, непременно произошел бы при этом слиянии. Итак, образовавшаяся черная дыра будет иметь массу в две солнечных – вдвое больше, чем каждая из исходных. А энтропия слившейся черной дыры будет вчетверо больше энтропии каждой из исходных дыр. Это больше, чем мы могли бы предположить на основании наших сведений о массах компонентов, – ведь если энтропия пропорциональна массе, энтропия слившейся черной дыры была бы всего вдвое больше энтропии каждой из исходных черных дыр. С другой стороны, это меньше, чем мы могли бы предположить, опираясь на то, что мы знаем об объемах: с наивной точки зрения результирующая черная дыра заключает в себе восемь объемов каждого из исходных объектов, а у нас получается, что энтропия выросла только вчетверо. Правильное масштабирование вытекает из связи между энтропией и горизонтом: каждый раз при добавлении нового кубита энтропии горизонт увеличивается в