Проблемы перехода от микроскопического уровня к макроскопическому оказались необычайно плодотворными для физики в целом. Первым вызов принял Больцман. Тонкая физическая интуиция подсказывала ему, что необходимо выработать какие-то новые понятия, которые позволили бы обобщить физику траекторий, распространив ее на системы, описываемые термодинамикой. Следуя по стопам Максвелла, Больцман принялся искать концептуальные новации в теории вероятности.
В самой идее о том, что вероятность могла бы играть определенную роль в описании сложных явлений, ничего удивительного не было: у Максвелла она, по-видимому, зародилась под влиянием трудов Кетле, который первым ввел в социологию понятие «среднего» человека. Новацией было введение вероятности в физику не как средства аппроксимации, а как объясняющего принципа, использование ее для демонстрации нового типа поведения систем, состоящих из огромного числа частиц: наличие большой популяции позволяло применять правила теории вероятностей.
Рассмотрим один простой пример применения понятия вероятности в физике. Предположим, что ансамбль из N частиц находится в ящике, разделенном на два равных отделения. Требуется найти вероятность различных распределений частиц между отделениями, т. е. найти вероятность обнаружить N>1 частиц в первом отделении (и N>2=N—N>1 частиц во втором).
Комбинаторный анализ позволяет легко сосчитать число способов, которыми получается каждое из различных распределений N частиц. Например, при N=8 поместить восемь частиц в одну половину ящика можно лишь одним способом. Но если предположить, как это делается в классической физике, что все частицы различимы, то поместить одну частицу в одном отделении, а остальные семь — в другом отделении ящика можно восемью различными способами. Распределить восемь частиц поровну между двумя половинами ящика можно 8!/4!4!=70 различными способами (где n! = 1×2×3... × (п—1) ×n). Аналогичным образом при любом N можно указать число Р способов, которыми можно получить любое заданное распределение (N>1, N>2), или, как принято говорить в физике, комплексов. Оно определяется выражением P=N!/N>1N>2!.
Чем больше число комплексов в любом ансамбле частиц, тем меньше отличаются между собой числа N>1 и N>2. Число комплексов максимально, когда частицы поровну распределены между двумя отделениями ящика. Кроме того, чем больше N, тем больше отличаются между собой числа комплексов, соответствующие различным распределениям. При значениях N порядка 10>23, достижимых в макроскопических системах, подавляющее большинство распределений соответствует случаю