При таком подходе точка соответствует максимуму знания, которым мы можем располагать о системе. Такой максимум есть результат предельного перехода, все возрастающей точности нашего знания. Как мы увидим в гл. 9, фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, какой предельный переход реально осуществим. Непрестанное повышение точности означает, что от одной области в фазовом пространстве, где плотность r отлична от нуля, мы переходим к другой, меньшей, которая содержится в первой. Такое стягивание мы можем продолжать до тех пор, пока область, содержащая систему, не станет сколь угодно малой. Но при этом, как мы увидим в дальнейшем, необходимо соблюдать осторожность: «сколь угодно малая» не означает «нулевая», и априори ниоткуда не следует, что наш предельный переход непременно приведет к непротиворечивому предсказанию отдельной однозначно определенной траектории.
Теория ансамблей Гиббса—Эйнштейна — естественное продолжение теории Больцмана. Функцию плотности r в фазовом пространстве можно рассматривать как аналог функции распределения скоростей f, которую использовал Больцман. Но по своему физическому содержанию PPP «богаче», чем f. Функция плотности r так же, как и f, определяет распределение скоростей, но, помимо этого, r содержит и другую информацию, в частности вероятность найти две частицы на определенном расстоянии друг от друга. В функцию плотности PPP входит и все необходимое для определения корреляций между частицами, о которых шла речь в предыдущем разделе. Более того, r содержит полную информацию о всех статистических свойствах системы п тел.
Опишем теперь эволюцию функции плотности в фазовом пространстве. На первый взгляд это еще более дерзкая задача, чем та, которую поставил перед собой Больцман: описание временной эволюции функции распределения скоростей. Но это не так. Канонические уравнения Гамильтона, о которых шла речь в гл. 2, позволяют нам получить точное эволюционное уравнение для r без дальнейших приближений. Это так называемое уравнение Лиувилля, к которому мы еще вернемся в гл. 9. Пока же отметим лишь одно важное следствие из гамильтоновой динамики: плотность r эволюционирует в фазовом пространстве как несжимаемая жидкость (если представляющие точки в какой-то момент времени занимают в фазовом пространстве область объемом V, то объем области остается постоянным во времени). Форма области может изменяться произвольно, но объем ее при всех деформациях сохраняется.
Таким образом, теория ансамблей Гиббса открывает возможность строгого сочетания статистического подхода (исследования «популяции», описываемой плотностью r) и законов динамики. Она допускает также более точное представление состояния термодинамического равновесия. Например, в случае изолированной системы ансамбль представляющих точек соответствует системам с одной и той же энергией