Уравнения движения в расширяющейся Вселенной (Путенихин) - страница 11

Легко заметить сходство уравнения (8) с законом Хаббла, но для зависимости не скорости от расстояния, а расстояния от времени. Если продифференцировать его по времени, то мы сразу же и получаем развёрнутый закон Хаббла:

Замечаем, что последний сомножитель – это значение r, подставляем и получаем обычную запись закона Хаббла:

Несложно показать, что при использовании изменяющегося во времени параметра e^>H>(>t>) мы получим интегральное уравнение движения а(t) или r(t).

Для этого все одинаковые интервалы времени записываем количественно, а не в порядковом виде. Каждое следующее состояние пространства является расширением предыдущего интервала, уже испытавшего соответствующее расширение.

Отмечаем, что все интервалы времени Δt_>i равны друг другу, а Hi – это значение параметра Хаббла, соответствующее текущему моменту времени этого i-го интервала. Для визуализации будем в уравнениях предыдущий интервал отделять от следующего закрывающей скобкой. Чтобы избежать "размножения" сопутствующих им открывающих скобок, мы их просто опустим, помня, что их может быть столько же, сколько и закрывающих:

В первой строке показано, что расширение e^>Ht испытал исходный интервал r_>0. Во второй строке расширение происходит теперь уже у этого уже расширившегося интервала в скобках. В третьей строке новым интервалом для расширения является итоговый интервал из второй строки. И так далее. Закономерность очевидна, она имеет вид:

Обнаруживаем, что сумма произведений мгновенного значения параметра Хаббла, соответствующего каждому краткому интервалу времени, выглядит как интеграл. Если длины интервалов устремить к нулю, то получим интеграл:

Верхним пределом интеграла является время T – сумма всех бесконечно малых интервалов времени dt просто потому, что количество слагаемых n как раз и равно количеству этих интервалов dt в общем времени: T = n×dt.

Выше такое же решение мы нашли для закона Хаббла с масштабным фактором (5) и (6). Уравнение описывает, как со временем увеличивается расстояние между двумя областями, находящимися в исходном состоянии на некотором расстоянии r_>0. Выше мы умышленно использовали константу в виде e^>H, чтобы получить именно такую запись (8), причем величина H окажется в точности равной постоянной Хаббла.

В заключение покажем, как с помощью этих уравнений производится построение диаграмм движения на примере условной галактики, сверхновой, находившейся в начале расширения пространства на удалении от Земли в 3 млрд. световых лет. Для наглядности рассмотрим условную Вселенную, расширяющуюся с параметром Хаббла H(t), имеющим множество изломов: участков убывания и возрастания.