Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек (Путенихин) - страница 5

Рассмотрен шар радиусом R, на поверхности которого находится галактика A. Этот шар с галактикой опоясан шаровым слоем толщиной h. Приводится доказательство того, что на галактику A со стороны этого слоя не оказывается никакого гравитационного действия, притяжения. Другими словами, в однородной Вселенной на эту галактику все другие галактики, вне этого шара не оказывают никакого влияния.

Рассматриваются силы притяжения, действующие на галактику A со стороны галактик, расположенных в этом слое в противоположных от неё направлениях, в объёмах элементов слоя V_>1 и V_>2. До этого момента рассуждения вполне корректны. Однако уже следующее утверждение является грубой ошибкой. При сравнивании объёмов элементов утверждается, что их угловые площади S_>1 и S_>2 и, соответственно, объёмы пропорциональны квадратам расстояний от галактики до поверхности слоя – r_>1 и r_>2. Приводится рисунок, на который мы сразу же добавили неравенство сил

Рис.2.5. Копия рисунка из работы [3]

и уравнение к нему

Автор допускает, вообще-то, очевидную небрежность, ошибку – это уравнение неверно. В нём проводится отождествление трёх разных сфер, имеющих радиусы R, r_>1 и r_>2. Каждая из площадей, дифференциал площадки, бесконечно малый участок на сфере определяется уравнением

где φ и μ – полярные углы сферического сегмента.

Каждый из этих полярных углов имеет вершину в начале своих собственных полярных координат. Только при этом условии площадь на поверхности сферы определена уравнением (2). В рассмотренном случае (1), эти начала полярных координат разные, поэтому, например, для S_>1 мы обязаны записать

Считая, что полярные углы φ и μ для всех трёх сфер одинаковы, каждая из площадок, дифференциал площади, например, в (3) это S_>1, обозначена с "точки зрения" соответствующих сфер: сферы с радиусом R и началом координат в центре этой сферы, и сферы с радиусом r_>1 и началом координат в точке А. Но эти две площадки S_>1 и S_>1>Rне тождественны, они не равны друг другу, они не слились воедино. Следовательно, площадка S_>1не принадлежит сферическому слою и, соответственно, не является элементом объёма V_>1. Исходному сферическому слою условно принадлежит объём

Условность состоит в том, что это уравнение справедливо для дифференциалов, но не для конечных величин S и V, в случае которых объём V не является прямоугольником – это усечённая пирамида, площадь которой определяется другим уравнением.