Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 14

Наряду с введением новых символов и методов расчета «Книга абака» была посвящена теории чисел (например, разложению на простые множители и правилам делимости) и содержала первоклассные алгебраические задачи. Конечно, она содержала главы о ведении счетов, о распределении прибыли и убытков, а также об обмене денег. Но самым известным разделом книги является знаменитая задача о размножении кроликов, решение которой известно сегодня как последовательность Фибоначчи.

Задача формулируется следующим образом: «Сколько пар кроликов будет у нас через год, если в январе у нас была одна пара, которая каждый месяц производит на свет другую пару, начиная с марта пара, в свою очередь, производит собственное потомство каждый месяц, начиная со второго месяца».

Для решения этой задачи Фибоначчи, как истинный бизнесмен, составил таблицу. В ней он записал рост популяции кроликов и подсчитал в столбце «Итого» число пар в конце каждого месяца. Беглый взгляд на этот столбец показывает странную закономерность в последовательности: каждое число является суммой двух предыдущих.

Числа в столбце «Итого» образуют так называемую последовательность Фибоначчи, согласно рекуррентному соотношению:

а_>1 = 1; а_>2 = 1; а_>n = а_>n-1 + а_>n->2(n >= 2).

Теперь посмотрим на связь между этой последовательностью и золотым сечением. Вспомним выражения (4) для степеней Ф на стр. 26, запишем их здесь в окончательной форме:

Ф^>3 = 2Ф +1

Ф^>4 = 3Ф + 2

Ф^>5 = 5Ф + 3

ф^>6 = 8Ф + 5

Ф^>7 = 13Ф + 8

Ф^>8 = 21Ф + 13

Если мы обратим внимание на коэффициенты в правых частях этих выражений, то увидим, что они являются последовательными членами последовательности Фибоначчи. Мы используем это для выражения n-й степени золотого сечения, где а_>n является n-м членом последовательности Фибоначчи:

Ф_>n = а_>n∙Ф + а_>n-1

Теперь рассмотрим некоторые другие связи между этими двумя понятиями. Воспользуемся калькулятором, чтобы найти отношения соседних чисел в последовательности Фибоначчи: а_>n/а_>n-1. Первые несколько результатов имеют мало общего с Ф, но мы продолжим вычисления. Что мы видим? Ответы вдруг начинают приближаться к значению Ф. В следующей таблице видно, что, начиная с десятого члена, каждое частное отличается от предыдущего менее чем на 0,001.