Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 27
Серебряный прямоугольник
Серебряный прямоугольник, или серебряное сечение, получается при добавлении к прямоугольнику с отношением √2 квадрата со стороной 1. Такой прямоугольник имеет форматное отношение (1 + √2), которое, как мы видели в предыдущей главе, является решением уравнения х>2 - 2х - 1 = 0 и называется серебряным сечением. Прямоугольник, полученный таким способом, более вытянут, чем исходный, так что объекты, в которых он используется, такие как врата храмов и поэтажные планы зданий, выглядят более изящными.
Прямоугольник Кордовы
Одним из главных памятников мавританской архитектуры в испанском городе Кордова (Cordoba) является знаменитая мечеть Мескита с восьмиугольным михрабом (молитвенной нишей). Испанский архитектор Рафаэль де Ла-Ос (1924–2000), изучая ее пропорции, обнаружил особый прямоугольник, который объясняет красоту ее формы. Де Ла-Ос описал эту пропорцию как отношение сторон прямоугольника, длина которого равна радиусу окружности, а ширина — длине стороны правильного восьмиугольника, вписанного в эту окружность. Он получил название прямоугольника Кордовы и выглядит более низкорослым, чем «золотой» прямоугольник.
Чтобы вычислить форматное отношение этого прямоугольника, мы должны выразить длину стороны L правильного восьмиугольника через радиус R описанной вокруг него окружности. Тогда мы получим:
R/L = 1/√(2 — √2) =~ 1,307
Это так называемое сечение Кордовы, или число Кордовы.
Спирали и золотое сечение
Но самым удивительным образом Ф проявляется в спиралях. Предположим, у нас есть «золотой» прямоугольник, от которого мы отсекаем квадраты, получая все меньшие «золотые» прямоугольники по уже знакомой нам процедуре.
Затем мы проведем четверть дуги окружности в каждом из отсекаемых квадратов. Радиус каждой из окружностей равен длине стороны квадрата, а центром является вершина, общая со следующим «золотым» прямоугольником. Это будут точки 1, 2, 3, 4, 5…
Таким образом мы получим линию, называемую логарифмической спиралью.
ЯКОБ БЕРНУЛЛИ И СПИРАЛИ
Спираль и ее свойства вызывали интерес у многих выдающихся математиков. Якоб Бернулли (1654–1705) был особенно очарован спиралями, которым он посвятил многие годы исследований. Это его увлечение привело к тому, что он даже завещал выгравировать спираль на его могиле, вместе с надписью Eadem mutato resurgo, что означает «Изменяясь, я воскресаю неизменным». Однако несмотря на строгие инструкции, гравер не смог воспроизвести логарифмическую спираль, а изобразил серию дуг, к которым слова Бернулли неприменимы.
Спираль является такой кривой линией, форма которой не меняется при изменении размера. Это свойство называется самоподобием.