Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) (Корбалан) - страница 26

Другие замечательные прямоугольники

Как мы видели на странице 51, прямоугольники телеэкранов (4:3 и 16:9) замечательны тем, что часто встречаются в нашей повседневной жизни. Теперь рассмотрим другие прямоугольники, с которыми мы сталкиваемся каждый день, и сравним их с «золотыми» прямоугольниками, чтобы еще раз подчеркнуть уникальность прямоугольников с форматным отношением Ф.

Прямоугольник с отношением √2

Построим квадрат ABCD со стороной 1. Затем проведем дугу окружности с центром в одной из вершин квадрата (в этом примере в точке А) и радиусом, равным расстоянию между этой вершиной и противоположной (АС). Дуга пересекает продолжение отрезка АВ в точке Е. Длина отрезка АЕ, будучи равной длине диагонали квадрата 1x1, равна √2, и, следовательно, прямоугольник, который мы построили, имеет стороны 1 и √2. Далее мы будем называть прямоугольники этого типа прямоугольниками с отношением √2 (так как отношение между сторонами √2 и 1 равно √2).

Характерным свойством прямоугольников с отношением √2 является следующий факт. Если мы разделим большую сторону прямоугольника пополам, мы получим еще один прямоугольник с отношением √2, по площади в два раза меньший. Стороны нового прямоугольника имеют длины 1 и √2/2, и отношение этих длин снова равно √2.

В самом деле, 1/(√2/2) = 2/√2 = √2. Гномоном прямоугольника с отношением √2 является тоже прямоугольник с отношением √2.

Этот процесс можно повторять бесчисленное количество раз, получая новые прямоугольники с отношением √2. Тот же самый итог выходит в результате удвоения меньшей стороны прямоугольника с отношением √2: мы снова получим прямоугольник с отношением √2. На следующем рисунке показан результат различных итераций.

Это свойство прямоугольника с отношением √2 используется при выборе размеров бумаги для европейских канцелярских принадлежностей: так называемый стандарт DIN. Это аббревиатура от Deutsches Institut fur Normung (Германский институт стандартизации), который в 1922 г. ввел этот стандарт, разработанный инженером Вальтером Порстманом.

Размеры начинаются с самого крупного АО, представляющего собой прямоугольник с отношением √2 площадью один квадратный метр. Каждый следующий размер обозначается номерами (A1, А2, А3, А4…) и имеет форму прямоугольника с отношением √2. Лист бумаги каждого следующего размера получается простым делением пополам.

В терминах вписанных многоугольников ширина прямоугольника с отношением √2 является радиусом окружности, а длина — стороной квадрата, вписанного в нее. Например, если радиус равен единице, то длина стороны вписанного квадрата равна √2. Фундаменты зданий часто имеют форму прямоугольника с отношением √2.