Существует много математических отличий между рациональными и иррациональными числами, но, пожалуй, одно из самых замечательных и интуитивно понятных — так называемая «музыкальность». Это хотя и не строго математическое отличие имеет математическую причину, а именно: различие в десятичной записи рациональных и иррациональных чисел.
Десятичные знаки рациональных чисел образуют повторяющуюся последовательность, называемую «периодической», в то время как десятичные знаки иррациональных чисел не повторяются ни с какой закономерностью, они появляются один за другим в непредсказуемом порядке. Однако если каждой цифре мы поставим в соответствие ноту и «сыграем» десятичные знаки рационального числа, мы услышим повторяющуюся мелодию, похожую на мотив песни. С другой стороны, музыка иррациональных чисел представляет собой неприятную какофонию.
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ ЧИСЛА √2
Допустим, что число √2 рационально. Это значит, что √2 можно выразить в виде дроби:
√2 = p/q
где р — целое, a q — натуральное число, причем р и q не имеют общих делителей. Избавляясь от знаменателя и возводя в квадрат, получим:
2q>2= р>2.
Отсюда следует, что р должно быть четным числом.
Тогда мы можем написать р = 2∙r и
2q>2= = 4r>2.
Разделив обе части на 2, получим:
q>2 = 2r>2,
откуда следует, что q также должно быть четным. Так как оба числа р и q четные, они имеют общий делитель, равный 2. Какой бы подход мы ни использовали, в результате всегда получается противоречие. Таким образом, первоначальное предположение, что число √2 рационально, неверно.
Определение золотого сечения
Золотое сечение является иррациональным числом, которое мы будем обозначать греческой буквой фи (Ф). Оно было открыто древними греками, и его документированная история начинается с одной из самых известных и много раз переиздаваемых книг всех времен и народов «Начал» Евклида, написанной около 300 г. до н. э.
Шедевр Евклида является первым научным бестселлером в истории. Ученый преследовал две цели, когда писал эту работу. С одной стороны, он хотел собрать все математические результаты того времени и составить энциклопедию, которая служила бы учебником. С другой стороны, он хотел разработать определенную методологию доказательств и построить новую математическую теорию, основанную на аксиомах (утверждениях, принимаемых без доказательств) и законах дедукции.
Успех «Начал» бесспорен, эта книга оказала значительное влияние на развитие всех областей математики. Известный математик и педагог XX века Лусио Ломбардо Радис писал: «После Библии и работ Ленина [«Начала»] является самой публикуемой и переводимой книгой. Еще несколько десятилетий назад она служила учебником геометрии для средней школы