Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 32

* * *

В серии работ «Предел — круг» Эшер попытался изобразить эту метрику и свойство прямых в гиперболической геометрии, в то же время дав собственную трактовку бесконечности как вселенной в капле воды. Схемы замощения могут отличаться: представленная на рисунке схема, которую использовал в своей работе

Пуанкаре, состоит из семиугольников. Каждая вершина семиугольника является общей еще для двух семиугольников. Особенный интерес представляет картина Зшера «Ангелы и демоны», на которой пятиугольники, в которых все углы «прямые», каждой вершиной соединяются еще с тремя.

Слева — треугольная функция, которую использовал Пуанкаре в работе об эллиптических функциях. Как позднее говорил сам Пуанкаре, в этой работе он применил неевклидову геометрию. Справа — «Ангелы и демоны» Эшера.

Чешский географ и статистик Яромир Корчак изучал влияние географического местоположения на население. В 1938 г. он провел статистические исследования числа больших островов в разных регионах мира и обнаружил закон, который сыграл ключевую роль в определении понятия размерности в математике. Для данной площади S он вычислил число островов с площадью, большей чем S. Подсчитав по этому правилу число островов N(S) для каждого S, он представил результаты в виде точек на оси координат. Выполнив эти действия для разных регионов, для каждого из них он получил соответствующий график. Он заметил, что эти графики похожи: N обратно пропорционально S в определенной степени, то есть N равно константе k, разделенной на S в степени, которую мы обозначим за D:

N(S) = k/S^>D.

Корчак сопоставил каждому региону соответствующее значение D. Впоследствии его результаты были уточнены, и теперь нам известно, что D для Африки (где один большой остров окружен мелкими) равно 0,5; D для Индонезии и Северной Америки (где крупные острова преобладают не столь явно) равно 0,75, а для всей планеты это число равно 0,65.

В прошлом веке многие ученые выявили похожие законы, например для словарного запаса людей или уровня воды в Ниле. Во всех этих законах фигурирует показатель степени, схожий с D. Наиболее значимым из них является закон, открытый Льюисом Фраем Ричардсоном (1881–1953), английским ученым и пацифистом, который первым применил современные математические методы для прогнозирования погоды, а также для изучения причин возникновения войн и их предотвращения. Изучая закономерности возникновения войн, он решил исследовать взаимосвязь вероятности войны между двумя странами и протяженности границы между ними.