Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 40

Девять отрезков исходной кривой приведены на рисунке ниже (первый отрезок обозначен цифрой 1 и так далее):

Затем процесс повторяется для каждого из девяти исходных отрезков (иными словами, каждый из девяти отрезков заменяется всем рисунком) и так далее. В результате получим кривую следующего вида (на нижней тройке изображений углы срезаны, чтобы наглядно показать, что кривую Пеано можно построить, не отрывая карандаша от бумаги).

После бесконечного числа итераций кривая Пеано примет форму квадрата.

Однако сам Пеано нашел лишь аналитическое построение, но не определил этот итеративный процесс и также не смог изобразить эту кривую графически (однако он привел рисунок в виде перевернутой восьмерки, чтобы показать непрерывность найденной им кривой). Пеано просто показал, как именно график найденной им функции будет постепенно заполнять квадрат. Другие математики в попытках графически представить абстрактную функцию, описанную Пеано, предложили итеративный алгоритм ее построения, показанный на рисунках выше, а также на следующем рисунке:

Как следствие, мы не знаем, какую именно из этих кривых можно назвать собственно кривой Пеано. Обе они в пределе образуют одну и ту же фигуру — квадрат.

В статье Пеано, которая была опубликована в 1890 г., впервые описывалась кривая, покрывающая плоскость.

Также существуют варианты кривой Пеано, которые не покрывают плоскость. Одну из них можно получить аналогичным преобразованием исходных девяти отрезков с тем отличием, что вертикальные линии будут короче горизонтальных.

Еще одну кривую подобного вида можно получить, если удалить центральный отрезок. Эта кривая обладает интересным свойством: ее график является непрерывным, но функция, которая определяет эту кривую, непрерывной не является.