Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 48
В этом случае нужно использовать размерность Минковского-Булигана. Она также известна как размерность Минковского, или грубая размерность. Она широко применяется в науке, так как ее можно очень просто рассчитать с помощью компьютера. Она также схожа с топологической размерностью и размерностью подобия.
Рассмотрим, почему это так. Проанализируем покрытие объекта, для которого мы хотим вычислить размерность. Если этот объект находится на плоскости, будем использовать для покрытия круги сравнительно малого радиуса. Если же объект находится в пространстве, будем использовать сферы. Это схоже с топологической размерностью Лебега, определенной посредством покрытий. Чтобы мы могли использовать общее обозначение для отрезков прямой, кругов на плоскости и сфер в пространстве, будем говорить о «шариках» радиуса эпсилон (ε). Будем обозначать N (ε) число шариков радиуса ε. Вычислим натуральный логарифм от этого числа и разделим его на log (1/ε), что, в свою очередь, отсылает к определению размерности подобия. Вспомним, что, применяя последнюю формулу к различным коэффициентам уменьшения, мы всегда получали один и тот же результат. Для объектов, которые не обладают свойством самоподобия (именно такие объекты мы сейчас рассматриваем), это не так. Определим размерность Минковского D>m как
D>M = lim>e->>0 (log N(ε) / log (1/ε)).
Иными словами, размерность Минковского равна значению выражения log N (ε) / log (1/ε), когда ε стремится к 0.
ОПТИМАЛЬНЫЙ МАРШРУТ КОММИВОЯЖЕРА
В 1912 г. Серпинский незадолго до того, как открыл треугольник, названный в его честь, занимался изучением кривой, которая строилась по рекурсивному алгоритму и покрывала плоскость.
Сейчас эта кривая используется для решения задачи коммивояжера, в которой необходимо найти кратчайший маршрут, проходящий через определенные точки плоскости. Одна из возможных стратегий — обойти точки в той же последовательности, которую описывает кривая Серпинского. Для этого необходимо, во-первых, сформировать подобную кривую и нарисовать ее так, чтобы она покрывала все нужные точки маршрута. Если это не удалось, нужно использовать кривую Серпинского следующей итерации. Как только нам удалось построить кривую, которая проходит через все требуемые точки, искомый маршрут найден. Этот алгоритм применяется, например, при расчете маршрутов доставки почтовых посылок. Он также позволяет сократить общее расстояние, которое проходит перо плоттера при отрисовке карт.
* * *
Иными словами, размерность Минковского равна значению выражения log N (ε) / log (1/ε), когда ε стремится к 0.