Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 54
Когда а принимает значения от 0 до 1, функция является непрерывной. Однако Вейерштрасс доказал, что эта функция не имеет производной ни в одной точке, если Ь — нечетное целое число и ab > 1 + 3π/2. Английский математик Готфри Харолд Харди несколько позднее доказал, что достаточно, чтобы выполнялись неравенства ab > 1 и b > 1.
График функции Вейерштрасса при а = 0,7 и b = 9.
В своей работе Вейерштрасс упоминает Римана, который, по-видимому, исследовал похожую функцию ранее, в 1861 г., но не опубликовал свои результаты. Функция Римана также представляет собой сумму синусоидальных функций, но не содержит параметров, а индекс n в ней используется иначе:
Построить график функции такого вида непросто. На следующей иллюстрации представлен график функции Римана и колебания курса акций некоего банка в течение года. Этот пример показывает, что подобная кривая может описывать реальные события.
Первая функция такого типа была открыта не Вейерштрассом, а уже упомянутым Больцано, который примерно в 1830 г. обнаружил непрерывную функцию, не имеющую производной практически ни в одной точке. Рукопись была утеряна, опубликовали ее лишь после Первой мировой войны, когда ее обнаружил другой чешский математик, М. Яцек в Австрийской национальной библиотеке в Вене. В этой рукописи Больцано доказывает, что найденная им функция недифференцируема во всех точках за исключением множества, мера которого равна нулю. Позднее он доказал, что эта функция недифференцируема во всех точках.
В отличие от не дифференцируемых функций, заданных аналитически, из прошлых примеров, функция Больцано определяется как предел последовательности полигональных функций В>1(х), В>2(х), В>3(х)…, первые две из которых представлены на следующих графиках.
>Источник: Мария Изабель Бинимелис.
Последователями Вейерштрасса было найдено множество других непрерывных не дифференцируемых функций. То, что сначала казалось необычным, в итоге оказалось вполне привычным. Более того, в настоящее время известно, что количество непрерывных функций, которые также являются дифференцируемыми, относительно невелико.
В 1903 г. японец Тейджи Такаги (1875–1960) привел пример непрерывной функции, не дифференцируемой ни в одной точке, которая была проще, чем функция Вейерштрасса. Аналитически она задается очень похожим образом. Главное отличие заключается в том, что ее основным элементом является график функции, имеющий форму палатки в виде перевернутой буквы «V», представленный на иллюстрации:
Функцию Такаги, равно как и функцию Больцано, можно представить в виде суммы ряда полигональных функций. Алгоритм, с помощью которого строятся эти функции, называется «смещение средней точки». Он использовался еще Архимедом для вычисления площади сегмента, ограниченного дугой параболы и ее хордой. На рисунке ниже представлены различные этапы построения графика. Каждому последующему этапу соответствует более тонкая линия.