(любые две его точки можно соединить дугой некой кривой).
В действительности понятия функции, непрерывности и дифференцируемости имеют точные определения, которые изучаются в старших классах средней школы. В настоящее время функция называется непрерывной в точке, если односторонние пределы функции в этой точке совпадают с ее значением в этой точке[22]. Однако при изучении функций часто бывает недостаточно анализа одной лишь непрерывности и возникает необходимость в определении каких-то дополнительных свойств. Одним из таких свойств является равномерная непрерывность. Равномерная непрерывность означает, что небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения функции и, кроме того, величина этих изменений зависит от величины изменений аргумента, а не от самого значения х (отсюда и характеристика «равномерная»). Любая равномерно непрерывная функция является непрерывной, но не наоборот.
Рассмотрим в качестве примера функцию f(х) = 1/х на множестве вещественных чисел. Эта функция является непрерывной, но не является равномерно непрерывной, так как при значениях х, близких к 0, значения f(х) изменяются очень быстро. Существуют и другие дополнительные характеристики непрерывных функций, например абсолютная непрерывность — более строгое ограничение, чем равномерная непрерывность.
Хотя чешский математик Бернард Больцано (1781–1848) предвосхитил появление точного определения непрерывности, длительное время его работы игнорировались. Идея, которая легла в основу современного определения непрерывности (по сути, идентичная идеям Больцано), принадлежит французскому математику
Огюстену Луи Коши (1789–1857), который описал непрерывность функции, использовав понятие предела. Так, согласно Коши, функция f(х) непрерывна в точке а. если справедливо соотношение:
lim>x->a f(х) = f(а).
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Это утверждение, важнейшее в дифференциальном исчислении, было сформулировано совместно Ньютоном и Лейбницем. Определение дифференцируемости интуитивно понятно: если в некоторой точке кривая не имеет единственной касательной, то функция, описывающая эту кривую, не дифференцируема в этой точке. В начале XIX в. большинство математиков полагали, что непрерывная функция имеет производную (иными словами, касательная к графику этой функции однозначно определена) почти во всех точках.
Однако в 1872 г. Карл Вейерштрасс выступил в Берлинской академии наук с докладом, который потряс все математическое сообщество: он показал, что существует непрерывная функция, не дифференцируемая ни в одной точке. Эта функция определяется как сумма синусоидальных функций и имеет два параметра,