Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 61

На первую страницу
. Мнимое число i является квадратным корнем из -1. Именно поэтому комплексные числа долгое время назывались мнимыми. Они не так сложны, как может показаться, и благодаря им удалось упростить многие теории и формулировки. Для обозначения комплексных чисел на плоскости используется прямоугольная система координат, в которой по горизонтальной оси откладывается значение вещественной части, по вертикальной оси — значение мнимой части. Запишем одно и то же комплексное число через декартовы координаты, в алгебраическом виде и в полярных координатах:

z = (1/2, √3/2) = (1/2) + (√3/2i) = 1>60°

В этой формуле z — комплексное число, вещественная часть которого равна 1/2, мнимая — √3/2. Это равносильно тому, что радиус-вектор соответствующей точки комплексной плоскости имеет длину 1 и образует угол в 60° с горизонтальной осью. Для сложения двух комплексных чисел достаточно сложить по отдельности их вещественные и мнимые части. Например, если z>1 = (-2,4) и z>2 = (3,1), их сумма равна (1, 5). Если представить эти числа графически, то мы увидим, что их сумма — это всего лишь точка на диагонали параллелограмма, образованного радиус-векторами этих чисел. Чтобы выполнить умножение, достаточно следовать простым правилам: i>2 заменяется на -1, так как i равно квадратному корню из -1:

z>1z>2 = (-2 + 4i)(3 + i) = —2(3 + i) + 4i(3 + i) = (-6 — 2i) + (12i — 4) = -10 + 10i.

Полученной точке соответствует радиус-вектор, угол которого равен сумме углов радиус-векторов данных чисел, а длина (которая называется модулем) равна произведению длин этих радиус-векторов.



Импульсивно-компульсивные вычисления

Важнейший вывод всех упомянутых работ был таков: с помощью очень простой формулы можно получить сложные результаты. Как мы увидим чуть позже, этот вывод имел большое значение для всей науки в целом.

В итеративной процедуре результат вычислений, полученный на предыдущем этапе, является входным значением для вычислений на следующем этапе. Суть этого метода в том, что с некоторым числом выполняется определенная операция, она же выполняется над полученным результатом, затем над результатом, полученным на следующем этапе, и так до бесконечности. В формальном виде это можно представить так:

x>n+1 = f(x>n).


Чтоб лучше понять, о чем идет речь, представим, что этой операцией является возведение числа в квадрат. В этом случае запись примет следующий вид:

x>n+1 = x>n>2


Примем в качестве начального значения любое число, например x>0 = 2. Тогда на первом шаге получим х>1 = 2>2 = 4; затем х>2 = 4>2 = 16, х>3 = 16>2 = 256 и так далее. Полученная последовательность чисел (в нашем примере это последовательность 2, 4, 16, 256….) называется орбитой, а точка, к которой стремится эта последовательность (в нашем случае это бесконечно удаленная точка), называется аттрактором.

Следующая страница