Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.) (Басса) - страница 67
На рубеже XX–XXI вв. китайский математик Тан Лэй выполнил ряд системных исследований множества Мандельброта и его динамики. Некоторые результаты представлены в его книге «Множество Мандельброта: Тема с вариациями» (2000). Изображение множества Мандельброта, приведенное на предыдущей странице, поможет понять всю важность фракталов за пределами математического мира.
Как связано положение точки с в множестве Мандельброта и множество Жюлиа, при генерации которого использовалось это значение с? Это достоверно неизвестно. Можно заметить, что множество Мандельброта содержит всю информацию о форме всех множеств Жюлиа, уменьшенных и видоизмененных. Следовательно, оно является не просто средством классификации связных и несвязных множеств Жюлиа. Например, для всех значений с внутри кардиоиды множество Жюлиа будет напоминать деформированную окружность. Если точка, которой соответствует значение с, располагается внутри одной из касательных окружностей, множество Жюлиа будет разделено на доли. Если же эта точка располагается на одной из многочисленных нитей, то соответствующее множество Жюлиа будет разделено на несколько ветвей. В случае когда эта точка расположена на границе множества, соответствующее множество Жюлиа будет разделено на бесконечное число отдельных частей.
Изучив свойства множества Мандельброта более подробно, мы увидим, что внутри определенной касательной окружности число долей соответствующего множества Жюлиа всегда будет неизменным. Присвоив каждой доле соответствующее число и проанализировав полученные изображения, можно составить карту множества Мандельброта.
Множество Мандельброта и различные множества Жюлиа, рядом с которыми приведены соответствующие значения с, использованные при построении.
Создать целую вселенную, полную замысловатых узоров, цветов, улиток и драконов, можно не только с помощью последовательности квадратичных функций. Существует множество других итераций над комплексными числами, позволяющих создать особый фрактальный мир. Те примеры, с которыми вы успели ознакомиться, очень хорошо показывают, что сложная структура не обязательно строится по сложным правилам. Примеры этому можно найти и в природе. Достаточно вспомнить, что человечество во всем своем многообразии лиц имеет в своей основе один генетический код. Может случиться так, что все это окажется не просто совпадением. Когда-нибудь это поможет открыть универсальный закон Вселенной, о котором мы говорили в первой главе этой книги.
Во второй половине XX в. музыка и математика, искусство и наука снова начали сближаться благодаря использованию компьютерных программ для цифровой обработки данных. В конце 1910-х гг. Иосиф Шиллингер, советский музыковед, эмигрировавший в США, разработал систему музыкальной композиции, основанную на периодических колебаниях. Он увязал их с ритмом, тоном, гаммами, аккордами и аккордовыми последовательностями. Система изложена в семи книгах, в каждой из которых уделено внимание отдельному аспекту музыкальной композиции. Некоторые ученые считают, что Шиллингер описал создание музыки на компьютере задолго до появления первых компьютеров. По мнению некоторых экспертов, теория Шиллингера до сих пор не получила заслуженного признания, хотя очень серьезно повлияла на Джорджа Гершвина, Глена Миллера (оба были учениками Шиллингера) и Бенни Гудмена.