Поскольку в этих науках должен быть разум, то кое-что в них должно быть познано a priori, и поэтому познание разумом может относиться к своему предмету двояко, а именно: либо просто определять этот предмет и его понятие (которое должно быть дано другим путем), либо сделать его действительным. Первое означает теоретическое, а второе - практическое познание разумом. И в той и в другой сфере следует предварительно изложить, как бы ни был велик или мал объем, раздел чистого знания, т.е. тот раздел, в котором разум определяет свой предмет целиком a priori, и не смешивать с этим то, что получается из других источников. Плохо то хозяйство, в котором деньги расходуются безотчетно, так что впоследствии, когда хозяйство окажется в состоянии застоя, уже не будет возможности определить, какая часть доходов может покрыть расходы и какую часть расходов следует сократить.
Математика и физика - это две теоретические области познания разумом, которые должны определять свои объекты a priori, первая совершенно чисто, а вторая чисто по крайней мере отчасти, а далее - также по данным иных, чем разум, источников познания.
С самых ранних времен, до которых простирается история человеческого разума, математика пошла верным путем науки у достойных удивления древних греков. Однако не следует думать, что математика так же легко нашла или, вернее, создала себе этот царский путь, как логика, в которой разум имеет дело только с самим собой; наоборот, я полагаю, что она долго действовала ощупью (особенно у древних египтян), и перемена, равносильная революции, произошла в математике благодаря чьей-то счастливой догадке, после чего уже нельзя было не видеть необходимого направления, а верный путь науки был проложен и предначертан на все времена и в бесконечную даль. Для нас не сохранилась история этой революции в способе мышления, гораздо более важной, чем открытие пути вокруг знаменитого мыса, не сохранилось также имя счастливца, произведшего эту революцию. Однако легенда, переданная нам Диогеном Лаэртским, сообщающим имя мнимого изобретателя ничтожных, по общему мнению даже не требующих доказательства, элементов геометрических демонстраций, показывает, что воспоминание о переменах, вызванных первыми признаками открытия этого нового пути, казалось чрезвычайно важным в глазах математиков и потому оставило неизгладимый след в их сознании. Но свет открылся тому, кто впервые доказал теорему о равнобедренном треугольнике (безразлично, был ли это Фалес или кто-то другой); он понял, что его задача состоит не в исследовании того, что он усматривал в фигуре или в одном лишь ее понятии, как бы прочитывая в ней ее свойства, а в том, чтобы создать фигуру посредством того, что он сам a priori, сообразно понятиям мысленно вложил в нее и показал (путем построения). Он понял, что иметь о чем-то верное априорное знание он может лишь в том случае, если приписывает вещи только то, что необходимо следует из вложенного в нее им самим сообразно его понятию.