,
у
,
z
,
t
и
х’
,
у’
,
z’
,
t’
, измеренные в двух и. с. о.
L
и
L’
, должны быть линейными. Из симметрий 1—4 и требования, чтобы преобразования составляли группу, можно получить вид этих преобразований. Если система отсчёта
L
’ движется относительно
L
со скоростью
V
, то при надлежащем выборе осей координат и начал отсчёта времени в
L
и
L’
(оси
х
и
х’
совпадают и направлены по
V
, оси
у
и
у’
,
z
и
z’
соответственно параллельны, начала координат
О
и
О’
совпадают при
t
= 0 и часы в
L’
установлены так, что при
t
= 0 часы в О’ показывают время
t’
= 0) преобразования координат и времени имеют вид:
,
,
, (2)
где с
– произвольная постоянная, имеющая смысл предельной скорости движения (равной скорости света в вакууме). Эта постоянная может быть определена из любого эффекта О. т. (например, замедления времени распада быстрого p-мезона). Справедливость кинематики и динамики, основанных на преобразованиях (2), подтверждена неисчислимой совокупностью экспериментальных фактов.
Преобразования Лоренца (2) вместе с преобразованиями вращения вокруг начала координат образуют группу Лоренца; добавление к ней сдвигов во времени t’
= t
+ а
и в пространстве х’
= х
+ b
(где a
, b
произвольные постоянные размерности времени и длины) даёт группу Пуанкаре.
Из принципа относительности вытекает, что физические законы должны иметь одинаковую форму во всех и. с. о.; следовательно, они должны сохранять свой вид при преобразованиях Лоренца. Это требование называется принципом (постулатом) релятивистской инвариантности, или лоренц-инвариантности (лоренц-ковариантности), законов природы.
Из преобразований Лоренца вытекает релятивистский закон сложения скоростей. Если частица или сигнал движется в L
по оси х
со скоростью u
, то в момент tx
= ut
и скорость частицы u’
= x’
/ t’
, измеряемая в системе L’
, равна:
(3)
Эта формула отражает основную черту релятивистской кинематики — независимость скорости света от движения источника. Действительно, если скорость света, испущенного покоящимся в некоторой и. с. о. L
источником, есть с
, u
= с
, то из закона сложения скоростей (2) получаем, что измеренная в и. с. о. L’
скорость света u’
также равна с
. Так как направление оси х
произвольно, то отсюда следует независимость скорости света от движения источника. Это свойство скорости света однозначно определяет вид преобразований Лоренца: постулировав независимость скорости света от движения источника, однородность пространства и времени и изотропию пространства, можно вывести преобразования Лоренца.