испытывают ускорение по отношению к инерциальной системе; поэтому часы 1 и 2 неравноправны.
При малых скоростях u
преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея x’
= x
– ut
, y
’ = y
, z’
’ = z
, t
’ = t
, которые описывают связь между картинами различных наблюдателей, известную из повседневного опыта: размеры предметов и длительность процессов одинаковы для всех наблюдателей.
Преобразования Пуанкаре оставляют инвариантной величину, называемую интервалом s>AB
между событиями А
, В
, которая определяется соотношением:
s>2>AB
= c>2
(t>A
– t>B
)>2
– (x>A
– x>B
)>2
– (y>A
– y>B
)>2
– (z>A
– z>B
)>2
. (6)
Математически инвариантность s
аналогична инвариантности расстояния при преобразованиях движения в евклидовой геометрии. Величины ct
, х
, у
, z
можно рассматривать как четыре координаты события в четырёхмерном пространстве Минковского: х >0
= ct
, х >1
= х
, x >2
= у
, x >3
= z
, которые являются компонентами четырёхмерного вектора.
Если вместо x >0
ввести мнимую координату x >4
= ix >0
= ict
, то произвольное преобразование Пуанкаре можно записать в виде, полностью аналогичном формуле, описывающей вращения и сдвиги в трёхмерном пространстве.
Вследствие того, что квадраты разностей временны'х и пространственных координат входят в (6) с разными знаками, знак s >2
может быть различным; геометрия такого пространства отличается от евклидовой и называется псевдоевклидовой. В такой геометрии интервалы разделяются на три типа: s >2
< 0, s >2
> О и s >2
= 0. Интервалы первого и второго типа называются соответственно времениподобными и пространственноподобными. Если s >2
³ 0, знак t>A
– t>B
не зависит от системы отсчёта. Это тесно связано с принципом причинности. Действительно, если s >2
³ 0 и (для определённости) t>A
< t>B
, то события А
и В
могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью u
£ с
, т.е. А
может быть причиной В
. Обычные представления о причинности требуют тогда, чтобы в любой системе отсчёта событие В
следовало за событием А
. Инвариантность условия s >2
= 0 непосредственно выражает инвариантность скорости света. Если s >2
< 0, то знак t>A
– t>B
может быть различным в разных и. с. о. Однако это не противоречит причинности, т.к. такие события не могут быть связаны никаким взаимодействием.
Если s >2
< 0, то существует такая система отсчёта, в которой события А
и В
одновременны; в этой системе s >2
= –l >2
, где l
— обычное расстояние. При s >2
> 0 существует система отсчёта, в которой события А
и В
происходят в одной точке.