Другой математик, Риман [27], примерно в те же годы допустил, что через точку С невозможно провести ни одной прямой, параллельной заданной, то есть любая из них непременно пересечет выбранную прямую АВ на конечном расстоянии от точки С. Это уточнение очень важно. В геометрии Римана движение по любой прямой в одном направлении непременно заставит вас вернуться к исходной точке с другой стороны. Быть может, это противоречит интуитивным представлениям, но в построении такой геометрии тоже нет логических ошибок. Она внутренне непротиворечива.
По мнению Рассела, в математике допустимы любые внутренне непротиворечивые концепции. Это значит, что геометрии Лобачевского и Римана имеют право на существование. Через полсотни лет после Римана родился Эйнштейн, который развил общую теорию относительности. Обнаружив, что его концепция мироздания соответствует Римановой геометрии, Эйнштейн сказал: «Как могло случиться, что заточенного в башне из слоновой кости математика посещают совершенно правильные мысли о строении внешней вселенной?» Это очень хороший вопрос. Такого чистого математика, как Риман, интересует прежде всего, так сказать, интеллектуальное упражнение. Это относится ко всем чистым математикам. Подобно богам, они не руководствуются исключительно чувством долга. Математик делает нечто только во имя удовольствия. Такой образ жизни ведут все вольные души, и математики показывают нам огромное число примеров такой свободы. У вольной души нет обязанностей. Она делает что-то совершенно спонтанно, однако такие непреднамеренные действия почти всегда приводят к блестящим результатам. Да, чистый математик запирается в башне из слоновой кости и мыслит только ради удовольствия. После этого кто-то из проходящих мимо берет его результаты и обнаруживает, что они предлагают власть над той или иной сферой природы. Однако это вызывает у чистого математика боль, так как милая его сердцу чистота оказывается запятнанной практическим применением.
Рассказывают, что один математик, у которого возникла совершенно непрактичная идея, воскликнул: «Слава Богу, что эта мысль не имеет никаких вообразимых сфер приложения». Разве это странно? Что почувствует художник, если напишет прекрасную картину, а потом некто отберет ее и начнет использовать для продажи «кока-колы»? Те же чувства охватывают и чистого математика. Не все мы слеплены по одному образцу. Вот простой факт: практически все математические творения были созданы чистыми математиками, запиравшимися в башнях из слоновой кости; к тому же всем нам известно, что любые попытки творить ради практической пользы делают творчество невозможным. Единственным исключением стала развитая Ньютоном теория производных, то есть дифференциального исчисления. Ньютона занимали концепции мироздания, а математика оставалась для него лишь инструментом. То же самое можно сказать и о значении математики для Винера [28], одного из главных теоретиков в области создания вычислительных машин в наши дни. Он был склонен заниматься не чистой, а прикладной математикой.