Преимущества аналитических методов при отображении многомерных пространств проявляются в отсутствии необходимости наглядно себе их представлять или моделировать реально в нашем пространстве — особенностях, обусловленных в первую очередь нашей психологической ограниченностью. Человек привычно представляет фигуры с размерностью N≤3, но не способен вообразить объект большей размерности.
Для аналитической же геометрии размерность N=3 лишь одна из бесконечного набора возможностей (1≤N=
При операциях в пространстве N измерений следует определить N координатных осей.
И наконец, еще одно преимущество аналитической геометрии. Она сильно упрощает представления о геометрических образах, заменяя их (зачастую весьма простыми) уравнениями. Например, в декартовых координатах уравнение прямой: y=ax+b (a, b=const); уравнение окружности: (x-a)**2+(y-b)**2=c**2 и т. д. Нетрудно описать, реализовать евклидово пространство в рамках аналитической геометрии.
Евклидово пространство можно определить как бесконечное, изотропное и однородное пространство. Любые две его точки полностью эквивалентны. Поместим в любой точке пространства три источника световых лучей, распространяющихся во взаимно перпендикулярных направлениях. Эти лучи образуют координатные оси Ox, Oy, Oz. Перенесем источники света вдоль одной из осей, например оси z. Новые оси O'x', O'y' будут параллельны Ox и Oy. Длины осей бесконечны, поэтому перенесение источников из точки O в точку O' не изменит геометрическую ситуацию. Аналогичное рассуждение можно провести и вращая одновременно все источники в точке на один и тот же угол. Неизменность свойств пространства при перемещениях и вращении отражает основные свойства евклидова пространства — однородность и изотропию. При указанных выше операциях сохранят свою форму и основные уравнения кривых.
Какова цена, которую следует уплатить за все преимущества аналитической геометрии? Используя ее методы, мы утрачиваем наглядность, привычную нам с детства. Аналитическая геометрия невольно порождает ностальгию по безвозвратно ушедшим школьным годам.
6. ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ И ГЕОМЕТРИЯ В МАЛОМ
Наши привычные представления о геометрических фигурах основаны на образе, вписанном, вложенном в евклидово пространство. Да и сама евклидова геометрия широко использует образы объемов или поверхностей, вложенных в евклидово пространство. Для общего представления о фигурах подобная картина вполне достаточна. Однако такие образные представления являются в некотором смысле атавизмом, оставшимся в наследие от убеждения в единственности евклидовой геометрии, понимаемой как ветвь математики. Как только сформировались идеи неевклидовой геометрии, возникла необходимость описания поверхностей-пространств любой размерности независимо от фона — пространства, куда вкладываются эти поверхности-пространства. Последние в такой постановке задачи выступают, как носители самостоятельной автономной геометрии, не связанные с осями координат, вписанными в глобальное евклидово пространство-фон.