мыслимых отрезков. Остаётся единственный
способ: доказывать отсутствие не путём
непосредственного наблюдения, а путём
логического рассуждения. Такой способ
и был применён пифагорейцами.
Сегодня
трудно сказать, как именно рассуждали
в школе Пифагора, доказывая несоизмеримость
стороны квадрата и его диагонали. От
старых времён дошло до нас чисто
геометрическое, и притом чрезвычайно
изящное, доказательство отсутствия
общей меры, но является ли оно тем самым
первоначальным доказательством - это
неизвестно. Сейчас наиболее популярно
сведбение вопроса к вопросу из теории
чисел. Именно используя прямую и обратную
теоремы Пифагора, легко обнаружить, что
несоизмеримость стороны и диагонали
квадрата равносильна невозможности
решить в целых числах уравнение 2x
2= y 2. (Мы говорим здесь лишь о
положительных целых числах; разумеется,
нулевые значения икса и игрека дают
решение.) Боюсь, что в нашей средней
школе эту равносильность не разъясняют,
а очень надо бы: на этом примере
демонстрируется и соотношение между
прямой и обратной теоремами, и то, как
одна невозможность перетекает в другую.
Доказательство же указанной равносильности
происходит очень просто и состоит, как
и доказательство любой равносильности,
из двух частей. В первой части доказывается,
что если бы диагональ и сторона квадрата
были соизмеримы, то существовали бы
такие целые числа x и y , что 2x
2 = y 2. Во второй части доказывается
обратное утверждение: если бы такие
числа существовали, то и диагональ
оказалась бы соизмерима со стороной. В
первой части используется прямая теорема
Пифагора: если диагональ и сторона
соизмеримы, то их общая мера укладывается
в стороне какое-то число x раз, а в
диагонали какое-то число y раз; тогда
по теореме Пифагора 2x 2 = y 2. Во
второй части используется обратная
теорема Пифагора: если найдутся такие
целые числа x и y , что 2x 2 = y
2, то по этой обратной теореме треугольник
с длинами сторон x , x и y
будет прямоугольным и его можно достроить
до квадрата со стороной длины x и
диагональю длины y . Таким образом,
великое пифагорейское открытие было
не только замечательным само по себе,
но и проложило дорогу к установлению
отсутствия решений у уравнений.
Обнаружить, что какое-то уравнение не
имеет решения (в целых числах, как в
нашем примере, или в действительных
числах, как уравнение x 2 = -1), подчас
бывает не менее важно, чем его решить.
Заметим ещё, что доказательство отсутствия
целочисленных решений у уравнения 2x
2 = y 2 настолько просто, что доступно
школьнику младших классов; боюсь, что
в школах его не излагают.