Возникает
естественный вопрос, а бывают ли мощности,
промежуточные между мощностями счётной
и континуальной. Иначе говоря, вопрос
состоит в том, какое из двух альтернативных
утверждений справедливо:
(1) по
количеству элементов континуум
действительных чисел идёт сразу вслед
за натуральным рядом или же
(2) в
указанном континууме можно выделить
промежуточное множество, то есть
такую бесконечную часть, которая не
равномощна ни всему континууму, ни
натуральному ряду.
Гипотезу,
что справедливо первое из этих утверждений,
называют гипотезой континуума или
континуум-гипотезой, а требование
доказать или опровергнуть эту гипотезу
- проблемой континуума . В 1877 году
Кантор объявил, что континуум-гипотеза
представляет собою математическую
истину, и с 1879 года начал отдельными
порциями публиковать трактат, имеющий
целью эту истину доказать. Статья с
шестой порцией была завершена 15 ноября
1883 года. Она содержала доказательство
того факта, что промежуточное множество
заведомо отсутствует в определённом
классе множеств (а именно в классе
замкнутых множеств), а также обещание
в последующих статьях доказать, что
такого множества вообще не существует,
- то есть доказать гипотезу в её полном
объёме. Однако обещанных последующих
статей не последовало. Кантор осознал,
что он не может доказать континуум-гипотезу,
и в мае 1884 года у него случился первый
приступ нервной болезни. В середине XX
века было установлено, что ни доказать,
ни опровергнуть континуум-гипотезу
невозможно. Здесь мы остановимся из
страха повторить судьбу Кантора.
На языке
лингвистики то, чем мы занимались в этой
главе, есть семантика количественных
числительных. При этом выяснилось, что
привычный бесконечный ряд “конечных”
числительных: один, два, три,…, сорок
восемь,…, две тысячи семь,… - может быть
дополнен “бесконечным” числительным
алеф-ноль -
Но ведь
бывают и числительные порядковые:
первый, второй, третий и т. д. Вкратце
поговорим и о них. Как количественное
числительное есть словесное выражение
(имя) количественного числа (оно же
кардинальное число, оно же мощность
), так порядковое числительное есть
словесное выражение (имя) порядкового
числа . Чтобы отличать порядковые
числа от количественных, будем обозначать
их - в конечном случае (а про бесконечный
мы пока ничего не знаем) - римскими
цифрами, как это и принято в русской
орфографии. Ведь мы пишем “Генрих VIII”,
а не “Генрих 8”. Порядковое число - это
особая сущность, для которой сейчас
будет предложено не определение (что
перегрузило бы изложение), а ассоциативная
иллюстрация. С этой целью обращусь к
своим детским ощущениям - ещё более
ранним, чем кошмар, упомянутый в самом
начале данной главы. В свои студенческие
годы я с изумлением узнал, что эти
ощущения испытал не только я.