Есть идея! (Гарднер) - страница 16

Сколько существует различных вариантов путаницы?

Подсчитать число вариантов совсем нетрудно, если составить таблицу. Оказывается, что карточки с именами 2 детей из 4 можно перепутать лишь 6 различными способами.

Предположим теперь, что после того, как карточки перепутали, у трех детей оказались карточки с их именами, а одному младенцу досталась карточка с чужим именем. Сколько вариантов путаницы существует в этом случае?

Как бы вы стали решать эту задачу? Составили бы таблицу? А может быть, у вас есть идея, как решить эту задачу проще?

Многим кажется, что ответить на вопрос задачи довольно трудно. Те, кто так думает, ошибочно полагают, будто перепутать карточки так, чтобы 3 младенцам из 4 достались карточки с их именами, можно многими способами. Но стоит лишь обратиться к принципу «птичка в клетке» и сформулировать задачу несколько иначе, как ответ сразу становится очевидным. Предположим, что перед нами 4 клетки и на каждой из них укреплена карточка с названием одного из 4 предметов. Если 3 предмета попали в клетки со своими названиями, то четвертому предмету не остается ничего другого, как попасть в клетку, к которой прикреплена карточка с его названием. Таким образом, мы имеем дело лишь с одним вариантом: каждый из 4 предметов оказывается в своей клетке.

Во многих книгах по занимательной математике встречается следующая задача, в которой речь идет лишь о 3 предметах. На столе расставлены 3 закрытые коробки. В одной из них находятся 2 монеты по 5 центов, в другой — 2 монеты по 10 центов и в третьей — 1 пятицентовая и 1 десятицентовая монета. На крышках коробок написано: 10 центов; 15 центов и 20 центов, но ни одна из надписей не соответствует содержимому коробки. Предположим, что из коробки с надписью «15 центов» (напомним, что надпись не соответствует содержимому коробки) извлекли 1 монету и положили на стол перед коробкой. Можно ли, взглянув на эту монету, сказать, какие монеты находятся в каждой из 3 коробок?

Как и в предыдущей задаче, многих вводит в заблуждение кажущаяся неоднозначность выбора: они думают, будто существует довольно много вариантов решения, тогда как на самом деле задача допускает единственное решение. Монета, извлеченная из коробки с надписью «15 центов» (не соответствующей содержимому), может быть монетой достоинством либо в 5 центов, либо в 10 центов. Если извлечена монета достоинством в 5 центов, то в коробке первоначально находились 2 монеты по 5 центов. Если извлечена монета достоинством в 10 центов, то в коробке первоначально находились 2 монеты по 10 центов. И в том и в другом случае содержимое остальных двух коробок восстанавливается однозначно. Нетрудно видеть, что не соответствующие содержимому каждой коробки надписи оставляют лишь 2 варианта распределения монет по: коробкам. После того как из коробки с ложной надписью «15 центов» извлечена 1 монета, один вариант исключается, и остается единственный допустимый вариант, соответствующий правильному решению.