Есть идея! (Гарднер) - страница 55
Хотя это было не ее дело, Элен подошла к дирижеру.
Элен. Позвольте мне дать вам один совет?
Дирижер. Мне сейчас не до вас, милая девушка! И без того голова идет кругом.
Элен. Хоть вы и не очень вежливы, я все равно скажу вам, что нужно делать. Перестройте музыкантов в колонну по пять!
Боб. Я как раз собирался предложить то же самое!
Когда оркестр перестроили в колонну по пять, все шеренги оказались заполнены.
Сколько музыкантов было в оркестре?
Элен просто пересчитала всех музыкантов в оркестре и обнаружила, что число их кратно 5. Но как можете вы, не видя всего оркестра, определить, сколько в нем музыкантов?
Сделать это можно следующим образом. Пусть N — число музыкантов в оркестре. Мы знаем, что при делении на 2, 3 и 4 оно дает остаток 1 (живым воплощением остатка служит Спиро, в одиночестве марширующий вслед за оркестром). Наименьшее число, обладающее этим свойством, на 1 больше наименьшего общего кратного (НОК) чисел 2, 3 и 4, то есть числа 12. Рассмотрим теперь все числа, кратные 12. Увеличив любое из них на 1, мы получим число, которое при делении на 2, 3 и 4 дает остаток 1.
Когда оркестр перестраивается в колонну по 5, то остаток равен 0. Следовательно, N делится на б без остатка. Решением задачи служат числа, кратные б, которые встречаются в последовательности
13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97, 109, 121, 133, 145, …
Поскольку число 145 слишком велико для школьного оркестра, то N равно либо 85, либо 25. Имеющаяся у нас информация не позволяет отдать предпочтение какому-нибудь из этих двух чисел.
Хорошим вариантом предыдущей задачи может служить следующая задача. При перестроениях оркестра в колонну по два, три и четыре в последней шеренге каждый раз недостает одного человека, а при построении в колонну по пять все шеренги оказываются заполненными. Сколько музыкантов в оркестре? На этот раз мы должны выписать последовательность чисел, которые на 1 меньше кратных двенадцати и делятся на 5 без остатка: 35, 95, 155, …
Следующий, более трудный вариант задачи принадлежит известному американскому мастеру головоломок Сэму Лойду. По традиции в день св. Патрика члены ирландской общины проводят в Нью-Йорке торжественное шествие. В тот год, о котором рассказывается в новелле Сэма Лойда, Великий маршал ордена св. Патрика безуспешно пытался выстроить участников шествия в колонну по 10, 9, 8, 7, б, 5, 4, 3 и 2 человека, но каждый раз в последней шеренге недоставало одного человека. Суеверные участники шествия решили даже, что среди них незримо витает дух скончавшегося незадолго до дня св. Патрика хромого Кейси, без которого не обходилось ни одно шествие. Вконец отчаявшись, Великий маршал приказал участникам шествия построиться в колонну по одному. Сколько людей приняло участие в шествии, если ирландская община в Нью-Йорке насчитывала в ту пору не более 7000 человек? Задача Сэма Лойда — прекрасный пример на нахождение НОК нескольких чисел. НОК чисел 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 и 2 равно 2520. Вычтя из этого числа скончавшегося от пневмонии хромого Кейси, мы узнаем, что в шествии приняло участие 2519 человек.