Есть идея! (Гарднер) - страница 56

Не следует думать, будто решение задачи становится сложнее оттого, что остатки при делении на различные числа не совпадают. В качестве примера, подтверждающего необоснованность подобных опасений, мы приведем старинную задачу-головоломку, прототип которой встречается в древнеиндийских трактатах по арифметике VII в.

Старушка несла на базар корзину яиц. Испугавшись пронесшейся мимо лошади, она выронила из рук корзину, и часть яиц разбилась. На вопрос, много ли яиц было в корзине, старушка ответила, что не сильна в арифметике и точное число яиц назвать не может. Правда, потом она все-таки вспомнила, что когда пересчитывала яйца парами, тройками, четверками и пятерками, у нее оставались лишние яйца (1, 2, 3 и 4 соответственно). Сколько яиц старушка несла на базар?

На первый взгляд кажется, что эта задача намного труднее предыдущих. В действительности же она ничем не отличается от первой части нашей рой задача, так как остаток от деления каждый раз на единицу меньше делителя. Решается она таким же способом: нужно найти НОК чисел 2, 3, 4, 5 и вычесть из него единицу.

Задача действительно становится более трудной, если разность между делителем и остатком зависит от делителя. Если у вас есть микрокалькулятор, вы можете на досуге показать своим друзьям забавный фокус.

Фокусник садится в кресло спиной к аудитории. Кто-нибудь из зрителей задумывает любое число не больше 1000, делит задуманное число на 7, 11 и 13, называя каждый раз вслух остаток от деления.

Чтобы не задерживать аудиторию, все вычисления зритель может производить на микрокалькуляторе. Остаток от деления проще всего находить по следующему рецепту: произвести деление, вычесть из полученного частного целую часть, а дробную умножить на делитель, после чего округлить произведение до ближайшего целого числа.

Фокусник, зная лишь три остатка, может отгадать задуманное число. Для этого он достает из кармана свой микрокалькулятор и производит вычисления по следующей «тайной» формуле, которую можно записать на небольшом клочке бумаги и приклеить к передней панели микрокалькулятора:

где a, b и c — остатки от деления задуманного числа на 7, 11 и 13. Задуманное число равно остатку от деления числителя формулы на знаменатель.

Секрет формулы раскрывается просто. Первый коэффициент равен наименьшему кратному произведения bc, которое на единицу больше числа, кратного a. Найти такое число можно по определенным правилам, но когда делители a, b и c не слишком велики,

как в нашем случае, то проще всего действовать прямым подбором: выписать кратные произведения