Есть идея! (Гарднер) - страница 57

Аналогичным образом вычисляются и остальные коэффициенты. Второй коэффициент равен наименьшему кратному произведения ac, которое на единицу больше числа, кратного b, а третий коэффициент равен наименьшему кратному произведения ab, которое на единицу больше числа, кратного c. В знаменателе формулы стоит просто произведение abc. Пользуясь этим алгоритмом, вы можете заготовить «тайную» формулу для любого набора взаимно простых чисел (то есть чисел, не имеющих общих делителей, кроме единицы). Сами числа не обязательно должны быть простыми.

Доказательство формулы для общего случая требует знания так называемой теории вычетов и замечательной теоремы, известной под названием «китайской теоремы об остатках». Она играет важную роль в доказательстве многих нетривиальных теорем теории чисел и решении многих научных проблем.

В качестве упражнения попробуйте вывести «тайную» формулу для упрощенного варианта того же фокуса, восходящего к Сунцзу, китайскому математику, жившему в 1 в., одному из тех ученых, в честь которых теорема об остатках получила название китайской. Задумывать разрешается любое число от 1 до 105. Делить задуманное число следует на 3, 5 и 7. «Тайная» формула оказывается в этом случае столь простой, что после некоторой тренировки вы сможете проделывать все необходимые вычисления «в уме».

Прежде чем закончить свою прогулку, Боб и Элен решили заглянуть в зоопарк. В одном вольере они увидели жирафов и страусов.

Выйдя из зоопарка, Боб обратился к Элен.

Боб. Ты не пересчитала жирафов и страусов?

Элен. Нет, а сколько их было?

Боб. Сосчитай сама. Всего у страусов и жирафов было 80 глаз и 44 ноги.

Элен сразу сообразила: 30 глаз означает, что в вольере было 15 животных.

Элен. Я могла бы перебрать все возможные случаи от 6 жирафов и 15 страусов до 15 жирафов и 0 страусов, но в этом нет надобности.

Элен. Если бы все 15 животных ходили на 2 ногах, то всего у них было бы 30 ног.

Элен. Но ты, Боб, сказал, что у 15 животных 44 ноги, поэтому 14 ног «лишних». Они могут принадлежать только жирафам. Значит, в вольере 7 жирафов.

Боб. Все правильно! А раз в вольере 7 жирафов, то страусов должно быть 8.

Идея, позволившая Элен найти решение задачи, проста, но, может быть, вам хочется проверить ответ алгебраически? Сходится ли ваш ответ с тем, который получился у Элен?

А вот забавная головоломка, придуманная по образу и подобию предыдущей задачи, но требующая для решения иного подхода. На арене небольшого цирка выступает группа наездников. Если пересчитать участников номера (лошадей и всадников) по головам и ногам, то всего наберется 18 голов и 50 ног. Кроме того, в зверинце при цирке содержатся дикие животные. Если пересчитать их по головам и ногам, то получится 11 голов и 20 ног. Среди них четвероногих вдвое больше, чем двуногих. Сколько наездников и лошадей выступает в цирке и сколько диких животных содержится в его зверинце?