Для истории математики особенно важно то, что конструирование механизмов и разработка их теории послужили П. Л. Чебышеву исходной точкой для создания нового раздела математики.
Мы остановимся на краткой характеристике достижений П. Л. Чебышева еще только в двух областях — теории чисел и теории вероятностей.
Трудно указать другое понятие, столь же тесно связанное с возникновением и развитием человеческой культуры, как понятие числа. Отнимите у человечества это понятие и посмотрите, насколько обеднеет от этого наша духовная жизнь и практическая деятельность: мы потеряем возможность производить расчеты, измерять время, сравнивать расстояния и т. д. Недаром древние греки приписывали легендарному Прометею, среди прочих его бессмертных деяний, изобретение числа. В тайны числа пытались проникнуть многие математики и философы. Особенное значение уже в Древней Греции получило исследование простых чисел, т. е. чисел, делящихся без остатка лишь на себя и на единицу. Все остальные числа являются, следовательно, произведениями простых чисел, и, значит, простые числа являются теми элементами, из которых образовано каждое целое число. Однако результаты в этой области получались с величайшим трудом. Древнегреческой математике, пожалуй, был известен только один общий результат о простых числах, известный теперь под названием теоремы Евклида. Согласно этой теореме, в ряду целых чисел имеется бесконечное множество простых. На вопросы же о том, как расположены эти числа, сколь правильно и как часто, греческая наука не имела ответа. Около двух тысяч лет, прошедших со времени Евклида, не принесли решения проблемы, хотя ими занимались Многие математики и среди них такие корифеи математической мысли, как Эйлер и Гаусс.
Занявшись теорией чисел, П. Л. Чебышев совершенно элементарными методами установил ошибку в гипотезе и исправил ее. Это был величайший триумф математической мысли.
>Созданный П. Л. Чебышевым знаменитый элементарный метод позволил ему доказать с изумительной легкостью закон больших чисел в столь широких предположениях, каких не могли осилить даже несравненно более сложные методы его предшественников. Пожалуй, еще более важное значение, чем фактические результаты П. Л. Чебышева, для теории вероятностей имеет то обстоятельство, что он возбудил интерес к ней своих учеников и создал школу своих последователей.
Другой раздел математической науки, в котором идеи и достижения П. Л. Чебышева получили решающее значение, называется теорией вероятностей. К теории вероятностей тянутся нити буквально от всех областей знания. Эта наука занимается изучением случайных явлений, которые нельзя предсказать заранее. Два основных закона этой науки — закон больших чисел и центральная предельная теорема — те два закона, вокруг которых до самого последнего времени группировались почти все исследования современных ученых. Оба эти закона в их современной трактовке берут свое начало от работ П. Л. Чебышева.