Человек по натуре добродушный, Енукидзе любил приходить людям на помощь, и счастливы были те, кому в минуту житейской неудачи приходила спасительная мысль обратиться к нему. ЦИК удовлетворял почти каждую просьбу о смягчении наказания, если только она попадала в руки Енукидзе. Жены арестованных знали, что Енукидзе — единственный, к кому они могут обратиться за помощью. Действительно, многим из них он помогал продуктами питания, направлял к ним врача, когда они или их дети были больны. Сталин обо всем этом знал, но, когда дело касалось Енукидзе, смотрел на такие вещи сквозь пальцы.
Сам я однажды тоже был свидетелем эпизода, который как нельзя лучше характеризует этого человека. В 1933 году, будучи с семьей в Австрии, я узнал, что туда прибыл Енукидзе в сопровождении свиты личных врачей и секретарей. Пробыв некоторое время в медицинской клинике профессора фон Нордена, он отправился отдыхать в Земмеринг, где занял ряд номеров в лучшей гостинице. Как-то, приехав в Вену, мы с женой встретили его возле советского полпредства. Он пригласил нас провести выходной день вместе. По дороге в Земмеринг мы проезжали небольшой городок, где как раз шумела сельская ярмарка со своей традиционной каруселью и прочими нехитрыми развлечениями. Мы остановили машину и стали свидетелями живописной сцены. Невдалеке от дороги плясала группа терских казаков в национальной кавказской одежде. Завидев наш лимузин, казаки подошли поближе и, явно надеясь на щедрое вознаграждение, исполнили кавказский танец, ловко жонглируя при этом острыми кинжалами. Казаки не подозревали, что они развлекают члена советского правительства, вдобавок настоящего кавказца. Когда танец кончился, один из них приблизился к нашей машине и, с трудом переводя дыхание, протянул свою кавказскую папаху. Енукидзе вынул бумажник и положил в нее стошиллинговую купюру. Потом он жестом пригласил всех танцоров подойти поближе и каждого оделил такой же суммой, составлявшей по тем временам пятнадцать долларов — очень немалые деньги. Когда мы двинулись дальше, телохранитель Енукидзе, ехавший с нами, обратился к нему:
— Это же были белоказаки, Авель Софронович!..
— Ну и что же? — откликнулся Енукидзе, заметно покраснев. — Они тоже люди...
Помню, на меня слова Енукидзе произвели большое впечатление... Любой другой за такое поведение лишился бы партбилета, но Авелю все сходило с рук...
Енукидзе не был женат и не имел детей, хотя, казалось, самой природой он был предназначен на роль образцового семьянина. Всю душевную нежность он расточал на окружающих, на детей своих приятелей и знакомых, засыпая их дорогими подарками. В глазах детей самого Сталина наиболее привлекательным человеком был, разумеется, не их вечно угрюмый отец, а «дядя Авель», который умел плавать, катался на коньках и знал массу сказок про горных духов Сванетии и другие кавказские чудеса.