Прошло почти 150 лет после открытия Эйлера, и математиков мира поразила новость. «Генератор» Ферма не срабатывал также и при n = 12 и при n = 23. На этот раз покой математиков нарушил безвестный священник из уральского села Замараевского Иван Михеевич Первушин. Этот упрямый человек решил задачу, над которой ломали голову известнейшие математики, задачу, которую не смог решить великий Ферма.
В ноябре 1877 года вице-президент Петербургской Академии наук, известный математик Виктор Яковлевич Буняковский получил письмо, в котором далекий уральский корреспондент сообщал: 2^(2^12) +1 — составное и один из делителей его равен 114 689. А позже тот же корреспондент сообщил Буняковскому, что и число 2^(2^23) +1 тоже составное и один из делителей его равен 167 772 161. Проверку делимости первого числа Первушина провел сам Буняковский, второго — профессор Егор Иванович Золотарев. Стало ясно: Первушин прав. Сенсация! Академик В. Я. Буняковский в донесении в отделение физико-математических наук Академии по поводу первой записки Первушина сказал: «По моему мнению, факт о новом случае делимости чисел вида 2^(2^n) + 1 не лишен научного интереса для занимающихся теорией чисел и желательно, чтоб он получил гласность». Академия поручила Буняковскому составить заметку. Что он и сделал. Эта заметка была опубликована на русском языке в «Записках Академии» и на французском языке в «Бюллетене Академии наук». Заметки были опубликованы вовремя, ибо через два месяца в записках Туринской Академии наук Италии была опубликована статья французского математика Э. Люка, в которой он приводит этот же случай делимости. Приоритет Первушина не вызывал сомнения. Наконец о математике с Урала заговорили в академических кругах как о крупном даровании, как о человеке фантастического трудолюбия. Сколько сил и времени надо было затратить, доказывая делимость этих чисел! Чтобы хоть немного почувствовать это, достаточно знать, что в числе 2^(2^23) + 1 — 2 525 223 цифры.
Только одержимый человек мог оперировать такими громадными числами и добиваться при этом выдающихся успехов!
Первушина влекли и совершенные числа.
Если сложить все делители натурального числа, но не равные этому числу, то эта сумма в одном случае будет меньше самого числа, а в другом — больше. Например, сумма делителей числа 8 равна 1 + 2 + 4 = 7, то есть меньше 8, а сумма делителей числа 12 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, то есть больше 12. Естественно, возникает вопрос о существовании таких чисел, сумма делителей которых равнялась бы этим числам. Такие числа есть. И называются они совершенными.