Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Ничего не может быть легче. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятиричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:
119: 5 = 23, остаток 4.
Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятиричной системе – 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5:
23: 5 = 4, остаток 3.
Это показывает, что во втором разряде («пятерок») будет цифра 3, а в третьем («двадцати-пятерок») – 4.
Итак, 119 = 4 × 25 + 3 × 5 + 4, или в пятиричной системе «434».
Сделанные действия для удобства располагают
так:
Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.
Приведем еще примеры.
1) Изобразить 47 в третичной системе:
Ответ: «502». Проверка: 5 × 9 + 0 × 3 + 2 = 47.
2) Число 200 изобразить в семиричной системе:
Ответ: «404». Проверка: 4 × 49+ 0 × 7 + 4 = 200.
3) Число 163 изобразить в 12-ричной системе:
Ответ: «117». Проверка: 1 × 144 + 1 × 12 + 7 = 163.
Думаем, что теперь читатель не затруднится изобразить любое число в какой угодно системе счисления. Единственная помеха может возникнуть лишь вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать изображений для цифр. В самом деле: при изображении числа в системах с основанием более десяти (например, в 12-ричной), может явиться надобность в цифрах, соответствующих числам десять и одиннадцать. Но из этого затруднения нетрудно выйти, избрав для этих новых цифр какие-нибудь условные знаки или буквы, – хотя бы, например, буквы кил, стоящие в русском алфавите на 10-м и 11-м месте. Так, число 1579 в двенадцатиричной системе изобразится следующим образом:
Проверка: 10 × 144 +11 × 12 + 7= 1579.
Простейшая система счисления
Вообще нетрудно сообразить, что в каждой системе высшая цифра, какая может понадобиться, равна основанию этой системы без единицы. Например, в десятичной системе высшая цифра 9, в 6-ричной – 5, в троичной – 2, в 15-ричной – 14, и т. д.
Самая простая система счисления, конечно, та, для которой требуется всего меньше цифр. В десятичной системе нужны 10 цифр (считая и 0), в пятиричной – всего 5 цифр, в троичной – 3 цифры (1, 2 и 0), в двоичной – только 2 цифры (цифры 1 и 0). Существует ли и «единичная» система? Конечно: это система, в которой единицы высшего разряда в один раз больше единицы низшего, т. е. равны ей; другими словами, «единичной» можно назвать такую систему, в которой единицы всех разрядов имеют одинаковое значение. Это самая примитивная «система»; ею пользуется первобытный человек, делая на дереве зарубки по числу сосчитываемых предметов. Но между нею и всеми другими системами счета есть громадная разница: в ней нет главной особенности нашей нумерации – так называемого поместного значения цифр. Действительно: в «единичной» системе знак, стоящий на 3-м или на 5-м месте, имеет то же значение, что и стоящий на первом месте. Между тем даже в двоичной системе единица на 3-м месте (справа) уже в 4 раза больше, чем на первом, а на 5-м – в 16 раз больше. Поэтому система «единичная» дает нам очень мало выгоды, так как для изображения какого-нибудь числа по этой системе нужно ровно столько же знаков, сколько было сосчитано предметов: чтобы записать сто предметов, нужно сто знаков, в двоичной же – только семь («1100100»), а в пятиричной – еще меньше, всего три («400»).