Эту главу позволю себе начать с задачи, которую я придумал лет пятнадцать тому назад для читателей одного распространенного тогда журнала [17] в качестве «задачи на премию». Вот она:
Загадочная автобиография
В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками:
«Я окончил курс университета 44-х лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет, – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т. д.
Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?
Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления – вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: «Спустя год (после 44-летнего возраста), 100-летним молодым человеком…» Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 – наибольшая в этой системе (как 9 – в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5. Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятиричной системе счисления, т. е. по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором – не десятки, а пятерки; на третьем не сотни, а «двадцати-пятерки», и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки «44», означает не 4 × 10 + 4, как в десятичной системе, а 4 × 5 + 4, т. е. двадцать четыре. Точно так же число «100» в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятиричной системе, т. е. 25. Остальные числа записки соответственно означают
Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет:
Я окончил курс 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 6 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет, у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал 50 рублей, из которых 1/5 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 рублей.