Таким образом, пользуясь спичками, вы прослеживаете ход чужих мыслей, восстановляя всю цепь умозаключений.
Тот же результат мы можем получить иначе, сообразив, что лежащая спичка в данном случае должна соответствовать в двоичной системе нулю (деление на 2 без остатка), а стоящая – единице. Таким образом, в предшествовавшем примере мы имеем (читая справа налево) число
или в десятичной системе так:
128 + 8 + 1 = 137.
А в последнем примере задуманное число изображается по двоичной системе:
или по десятичной:
512 + 128 + 16 + 8 + 1 = 664.
Еще пример. Какое число было задумано, если из спичек получилась фигура:
Решение: 10010101 в двоичной системе, а в десятичной:
128 + 16 + 4+ 1 = 139.
Необходимо заметить, что получаемая при последнем делении единица также должна быть отмечаема стоящей спичкой.
У некоторых читателей, вероятно, возник уже вопрос: почему для выполнения описанных раньше опытов мы пользуемся именно двоичной системой? Ведь всякое число можно изобразить в любой системе, между прочим, и в десятичной. Чем же объясняется предпочтение двоичной?
Объясняется оно тем, что в этой системе, кроме нуля, употребляется всего одна цифра – единица, а следовательно, число составляется из различных степеней 2, взятых только по одному разу. Если бы в фокусе с конвертами мы распределили деньги, например, по 5-ричной системе, то могли бы составить, не вскрывая конвертов, любую сумму лишь в том случае, когда каждый пакет повторяется у нас не менее 4 раз (в 5-ричной системе, кроме нуля, употребляются ведь 4 цифры).
Впрочем, бывают случаи, когда для подобных надобностей удобнее пользоваться не двоичной, а троичной системой, несколько видоизмененной. Сюда относится знаменитая старинная «задача о системе гирь», которая может послужить сюжетом и для арифметического фокуса.
Представьте, что вам предложили придумать систему из 4 гирь, с помощью которых возможно было бы отвесить любое целое число фунтов от 1 до 40. Двоичная система подсказывает вам набор:
1 ф., 2 ф., 4 ф., 8 ф., 16 ф.,
которым можно отвешивать все грузы от 1 до 31 фунта. Но это, очевидно, не удовлетворяет требуемым условиям ни по числу гирь, ни по предельному грузу (31 ф. вместо 40 ф.). С другой стороны, однако, вы не использовали здесь предоставляемой весами возможности – класть гири не только на одну чашку весов, но и на две, т. е. пользоваться не только суммою гирь, но и их разностью. Это дает так много разнообразных комбинаций, что вы совершенно теряетесь в поисках, не умея уложить их в какую-либо систему. Если вам не посчастливится напасть на правильный путь, вы готовы будете даже сомневаться вообще в разрешимости подобной задачи таким малым числом гирь, как четыре. Но посвященный выходит из затруднения с волшебной простотой, намечая следующие 4 гири: