Пирс Бёрсилл-Холл.
«Почему мы изучаем геометрию?»
Так что же такое геометрия? Многие полагают, что геометрия — это только предмет, который они изучали в средней школе, — совокупность технических приемов, необходимых для измерения углов между прямыми, вычисления площадей треугольников, кругов и прямоугольников и, возможно, для установления некоторой меры эквивалентности между различными геометрическими объектами. Даже если пользоваться столь ограниченным определением, не возникает сомнений, что геометрия является весьма полезным инструментом — к примеру, для архитекторов, ежедневно использующих ее в своей работе. Да, несомненно, геометрия включает в себя все вышеперечисленное, но также и многое другое, поскольку она имеет отношение к архитектуре в самом широком смысле этого слова, начиная от мельчайших масштабов и заканчивая огромнейшими. А для некоторых людей вроде меня, одержимых идеей определения размера, формы, кривизны и структуры космического пространства, геометрия — основной инструмент.
Слово геометрия, произошедшее от слов гео (земля) и метрео (измеряю) изначально значило «измерение земли». Но сейчас это слово используется в гораздо более общем значении — «измерение пространства», хотя пространство само по себе и не является достаточно строго определяемым понятием. Как сказал однажды Георг Фридрих Бернхард Риман: «Геометрия предполагает заданными заранее как понятие пространства, так и первые основные понятия, которые нужны для выполнения пространственных построений, давая таким образом лишь номинальные определения понятий».[14]
Как бы странно это ни прозвучало, но мы предпочитаем сохранять понятие пространства весьма расплывчатым по той причине, что оно подразумевает многое, для чего мы не имеем других обозначений. Таким образом, эта неопределенность в каком-то плане удобна. К примеру, когда мы рассматриваем вопрос о размерности пространства или размышляем о его форме как единого целого, мы могли бы отнести эти рассуждения и ко всей Вселенной. В более узком значении понятие пространства может относиться как к весьма простой геометрической конструкции, такой как точка, линия, плоскость, сфера или тор — все те типы геометрических фигур, которые способен нарисовать студент, так и к гораздо более сложным и неизмеримо более трудноизображаемым объектам.
Представим, к примеру, что у нас имеется некая совокупность точек, расположенных совершенно случайным образом, и что при этом абсолютно невозможно ввести определение расстояния между ними. С точки зрения математики это пространство не будет иметь геометрии; это будет просто случайный набор точек. Однако стоит лишь ввести некую измерительную функцию, дающую возможность рассчитывать расстояния между любыми двумя точками, называемую метрикой, как пространство неожиданно приобретает упорядоченность. Теперь оно характеризуется определенной геометрией. Иными словами, метрика предоставляет всю информацию, необходимую для того, чтобы сделать вывод о форме пространства, на котором она задана. Вооружившись способом измерять форму пространства, можно с большой точностью определить, является ли пространство плоским, и установить степень его отклонения от плоскости, или, иными словами, вычислить кривизну пространства, что я лично нахожу наиболее интересным.