Рассмотрим число 614. Оно равно 600 + 10 + 4. На самом деле любое трехзначное число вида abc можно записать как 100a + 10b + с. Итак, пусть наше исходное число есть abc, где а, b и с — отдельные цифры. Для удобства будем считать, что а больше c.
Переставление цифр дает cba, что можно выразить как 100c + 10b + а.
Для получения промежуточного результата требуется вычесть cba из abc. Получаем, что abc - cba равно
(100a + 10b + с) - (100c + 10b + а).
Два члена с буквой b сокращают друг друга, так что промежуточный результат равен
99a - 99c, или 99(a - c).
На своем начальном уровне алгебра не предполагает особо глубоких озарений, однако требует соблюдения ряда правил. Цель всего происходящего состоит в том, чтобы применять эти правила, пока выражение не станет максимально простым. Выражение 99(a - c) приведено именно в такой вид, в какой нужно.
Поскольку первая и последняя цифры в числе abc различаются по крайней мере на 2, получаем, что а - с может иметь одно из значений 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8.
Тем самым, число 99(a - с) — одно из следующих: 198, 297, 396, 495, 594, 693 или 792. С какого бы трехзначного числа мы ни начали, вычитание его из числа, записанного с помощью его же цифр, взятых в обратном порядке, даст промежуточный результат, который непременно будет равен одному из семи перечисленных чисел.
Заключительный этап состоит в том, чтобы сложить это промежуточное число с тем, которое получается из него изменением порядка цифр на противоположный.
Повторим то, что мы делали выше, в применении к промежуточному числу.
Пусть наше промежуточное число равно def, то есть 100d + 10e + f Требуется сложить def и fed.
Рассматривая приведенный список возможных промежуточных чисел, мы замечаем, что среднее число e всегда равно 9. Кроме того, первая и третья цифры всегда дают в сумме 9 — другими словами, d + f = 9.
Итак, def + fed равно
100d + 10e + f + 100f + 10e + d,
или
100(d + f) + 20e + d + f,
что есть
(100 × 9) + (20 × 9) + 9.
Или, другими словами,
Вуаля! Сумма равна 1089 — и секрет фокуса раскрыт.
Элемент неожиданности в «фокусе 1089» состоит в том, что, какое бы число мы случайно ни выбрали, в ответе всегда получается одно и то же. Алгебра позволяет увидеть то, что скрыто за ловкостью рук, указывая путь, ведущий от конкретного к абстрактному, то есть предлагая следить не за поведением отдельного числа, а за поведением любого, произвольного числа. Это незаменимое средство, причем не только в математике. Другие науки также полагаются на язык уравнений.
* * *
В 1621 году во Франции вышел латинский перевод Диофантова шедевра «Арифметика». Новое издание оживило интерес к античным методам решения задач и в сочетании с усовершенствованными числовыми и буквенными обозначениями распахнуло двери в новую эру математического мышления. «Арифметика» Диофанта стала настольной книгой Пьера де Ферма