Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 113

Возвращаясь к алгебре, рассмотрим неразлучного спутника школьной математики: системы уравнений. Задача, как правило, состоит в том, чтобы решить систему из двух уравнений, в каждое из которых входят две переменные. Например,

Здесь требуется решить оба уравнения, что мы сейчас и исполним. Подставив значение переменной, взятое из одного уравнения, в другое, найдем решения. В данном случае, поскольку у = x, имеем

что дает

Итак, x = 1 и у = 1.

Всякое уравнение, содержащее две переменных, можно представить себе наглядно, на графике. Проведем горизонтальную прямую и пересекающую ее вертикальную прямую. Будем говорить, что горизонтальная прямая — это ось x, а вертикальная — ось у. Оси пересекаются в точке 0. Положение любой точки на плоскости можно тогда определить, указав соответствующие ей значения на каждой оси. Местоположение точки, определяемое числами (a, b), задается как пересечение вертикальной прямой, проходящей через точку а на оси x, и горизонтальной прямой, проходящей через точку b на оси у.

Для всякого уравнения, содержащего x и у, те точки (x, у), в которых значения x и у удовлетворяют заданному уравнению, представляют собой некоторый график. Например, каждая из точек (0, 0), (1, 1), (2, 2) и (3, 3) удовлетворяет нашему первому уравнению, у = x. Если мы нанесем все эти точки на график, то станет ясно, что уравнение у = x порождает прямую линию. Подобным же образом можно изобразить второе из приведенных выше уравнений, у = 3х - 2. Выбирая значение x и затем выясняя, чему равен у, мы устанавливаем, что точки (0, -2), (1, 1), (2, 4) и (3, 7) лежат на линии, описываемой данным уравнением. Это тоже прямая, пересекающая ось у в точке -2:

Если мы наложим одну из наших прямых на другую, то увидим, что они пересекаются в точке (1, 1). Таким образом, мы видим, что решение системы уравнений — это координаты точки пересечения двух прямых линий, описываемых этими уравнениями.

Мысль о том, что уравнения можно выразить в виде линий, представляла собой радикальное новшество, предложенное Декартом в его книге «La Geometrie». Введение Декартовой системы координат носило революционный характер, потому что в ней соединились до того никак не связанные области: алгебра и геометрия. Впервые оказалось, что два различных раздела знания не только связаны между собой, но и являются альтернативными представлениями друг друга. Одна из задач, которые ставил перед собой Декарт, состояла в том, чтобы сделать и алгебру, и геометрию доступнее для понимания, потому что, как он заметил, взятые по отдельности, «они простираются лишь в области весьма абстрактных вещей, с виду не представляющих никакого практического интереса, — геометрия всегда настолько привязана к исследованию фигур, что понимания в ней невозможно добиться без чрезвычайного напряжения воображения, в то время как алгебра до такой степени подчинена всяческим правилам и числам, что превратилась в запутанное и замутненное искусство, которое подчиняет себе ум, вместо того чтобы быть наукой, способствующей развитию ума». Декарт не питал особой склонности к перенапряжению. Он вошел в историю как любитель позднего вставания, прославившись тем, что предпочитал при всякой возможности оставаться в кровати до полудня.