Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 121

В этом квадрате Франклин воплотил одно из своих собственных изобретений, касающееся развития теории магических квадратов: «ломаную диагональ», которая учитывает суммы чисел в черных клетках и суммы чисел в серых клетках, как показано на рисунках А и В ниже. Хотя квадрат Франклина не является собственно магическим, поскольку сумма чисел по основным диагоналям не составляет 260, его новое изобретение — половинные диагонали — суммируются именно таким образом. Суммы чисел по черным клеткам на рисунках С, D и E, сумма чисел по серым клеткам на рисунке E и, конечно, суммы по каждой строке и каждому столбцу — все они равны 260.

Квадрат Франклина содержит и еще более хитроумные симметрии. Сумма чисел в каждом из подквадратов 2 × 2 равна 130, и такова же сумма любых из четырех чисел, расположенных равноудаленно от центра. Считается, что Франклин изобрел еще один квадрат, когда ему было уже за сорок. Потратив всего один вечер, он составил невероятный квадрат размером 16 × 16, который, по его утверждению, был «самым магически магическим из всех магических квадратов, когда-либо созданных магами». (Он приведен в приложении 3 на веб-сайте, посвященном данной книге.)

Одна из причин непреходящей популярности составления магических квадратов заключается в том, что их оказывается неожиданно много. Попробуем пересчитать их, начиная с наименьшего: имеется ровно один магический квадрат размера 1 × 1 — это просто число 1. Магических квадратов, составленных из четырех чисел в формате 2 × 2, нет. Далее имеется восемь способов расположить цифры от 1 до 9 так, чтобы получился магический квадрат 3 × 3, но каждый из этих восьми квадратов на самом деле получен из одного-единственного квадрата операциями поворота или отражения, так что разумно считать, что имеется лишь один магический квадрат 3 × 3. На рисунке показаны все имеющиеся возможности.

После тройки число возможных магических квадратов возрастает невероятно быстро. Даже после редукции, учитывающей вращения и отражения, оказывается возможным построить 880 магических квадратов размером 4 × 4. В формате 5 × 5 число магических квадратов равно 275 305 224 — этот результат был получен только в 1973 году с использованием компьютера. И хотя число это кажется астрономически большим, на самом деле оно ничтожно по сравнению с числом всех возможных расстановок цифр от 1 до 25 в магическом квадрате размером 5 × 5. Полное количество возможных расположений можно вычислить, умножая 25 на 24, потом на 23 и т. д. до 1, что примерно составляет число, записываемое как 1,5 с 25 нулями, то есть 15 септилионов.