Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 207

Гальтон изобрел на удивление простое приспособление, названное «квинканкс»[64], для объяснения той математики, что стоит за обожаемой им кривой. Слово «квинканкс» исходно означало пятерку — пять точек, расположенных как на игральной кости 5, а придуманное им приспособление представляло собой нечто вроде пинбол-машинки — ящик с прозрачной передней стенкой, в заднюю стенку которого в шахматном порядке вбиты штырьки. Сверху в ящик через воронку, расположенную посередине, кидаются шарики. Нижняя часть ящика разделена перегородками, число которых равно числу штырьков в последнем ряду. Падая, шарики скапливаются на дне и образуют столбики. Распределение высот этих столбиков напоминает колоколообразную кривую[65].

Квинканкс

Разобраться в том, что здесь происходит, можно используя идею о вероятности. Сначала представим себе квинканкс с одним-единственным штырьком; когда шарик ударяется о него, исход такого соударения случаен: в 50 процентах случаев шарик отскочит налево, а в 50 процентах случаев — направо. Другими словами, с вероятностью 1:2 он попадет в положение слева, а с вероятностью 1:2 — справа от центра.

Теперь добавим второй ряд штырьков. Теперь шарик может повернуть или сначала налево и потом еще раз налево, что мы будем обозначать как LL, или налево и потом направо, что мы обозначим как LR, или же, в тех же обозначениях, пройти пути RL или RR. Поскольку исход «сначала повернуть налево, а затем сразу же направо» эквивалентен исходу «положение шарика не меняется», L и R сокращают друг друга (как, равным образом, и R и L), так что в результате вероятность того, что шарик попадет в левое положение, равна 1:4, вероятность того, что он попадет в середину, равна 2:4, и вероятность того, что он уйдет направо, также равна 1:4.

Добавим третий ряд. Повторяя наши рассуждения, видим, что равновероятные исходы состоят в том, что пути шарика будут LLL, LLR, LRL, LRR, RRR, RRL, RLR и RLL. Это дает вероятность 1:8 приземлиться в крайнем левом положении, 3:8 — слева рядом с центром, 3:8 — справа рядом с центром и 1:8 — в крайнем правом положении.

Другими словами, если в квинканксе имеется два ряда и мы накидаем туда уйму шариков, то по закону больших чисел шарики лягут на дно в отношении, близком к 1:2:1.

Если рядов три, то шарики соберутся на дне в отношении 1:3:3:1.

Если рядов четыре, то в отношении 1:4:6:4:1.

Подсчитывая вероятности и дальше, для квинканкса с десятью рядами штырей получим, что шарики распределятся в отношении

Если нанести эти числа на график, то получатся распределения, показанные на рисунке.