Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 53
Евклид принялся за нарезание двумерного пространства на семейство фигур, известных как многоугольники — фигуры, построенные лишь из отрезков прямых линий. С помощью циркуля и линейки он сумел построить не только равносторонний треугольник, но и квадрат, пятиугольник и шестиугольник. Многоугольники, в которых все стороны имеют одну и ту же длину, а все углы между сторонами одинаковы, называются правильными. Интересно, что метод Евклида работает не для всех правильных многоугольников. Семиугольник, например, нельзя построить циркулем и линейкой, зато восьмиугольник — можно, но девятиугольник снова нельзя. Между тем сумасшедше сложный правильный многоугольник с 65 537 сторонами построить можно — более того, он был реально построен. (Такое число сторон выбрано потому, что оно равно 2>16 + 1.) Немецкий математик Иоган Густав Гермес, начав в 1894 году, потратил на эту работу десять лет[16].
Одна из задач, которые ставил перед собой Евклид, заключалась в исследовании трехмерных фигур, которые можно создать, соединяя друг с другом одинаковые правильные многоугольники. Оказывается, вариантов всего пять: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр — пятерка тел, известных как Платоновы тела с тех пор, как Платон написал о них в одном из своих важнейших трактатов «Тимей» (360 до н. э.). Платон соотнес их с четырьмя стихиями, составляющими Вселенную, добавив к ним божественное пространство, которое всех их окружает. Тетраэдру отвечал огонь, кубу — земля, октаэдру — воздух, икосаэдру — вода, а додекаэдру — охватывающий купол. Платоновы тела особо интересны тем, что они полностью симметричны. Их можно крутить, вертеть или как угодно переворачивать, и они всегда будут оставаться неизменными.
Платоновы тела
В тринадцатой, заключительной, книге «Начал» Евклид доказал, почему имеется только пять Платоновых тел. Он рассмотрел все объемные объекты, которые можно собрать из правильных многоугольников: сначала равносторонний треугольник, затем квадраты, пятиугольники, шестиугольники и т. д. На рисунке показано, как он пришел к своему выводу. Чтобы построить объемный объект из многоугольников, необходима точка, в которой сходятся три стороны: такой угол называется вершиной. При соединении в вершине, например, трех равносторонних треугольников получается тетраэдр (А). При соединении четырех — пирамида (В). Такая пирамида — не платоново тело, потому что не все стороны у нее одинаковы, но, приклеив к ее дну отраженную пирамиду, получаем октаэдр — платоново тело. Соединение вместе пяти равносторонних треугольников дает начало икосаэдру (С), а вот соединение шести — плоский лист бумаги (D). Не удается сконструировать телесный угол из шести равносторонних треугольников, так что нет других способов сделать из них какие-либо Платоновы тела. Повторение той же процедуры с квадратами показывает, что есть только один способ соединить три квадрата в угол (E). Это построение приведет к кубу. Соединение четырех квадратов дает плоский лист бумаги (F). Из квадратов более не удается построить Платоновых тел. Аналогичным образом, три пятиугольника образуют телесный угол, который можно достроить до додекаэдра (G). Невозможно соединить четыре пятиугольника. Три шестиугольника, соединяющиеся в одной точке, уже лежат в одной плоскости (H), так что из них невозможно создать объемный объект. Больше Платоновых тел нет, поскольку невозможно соединить в вершине три правильных многоугольника с более чем шестью сторонами.