Числа, которые нельзя записать в виде дроби, называются иррациональными. Согласно легенде, их существование впервые доказал ученик Пифагора Гиппас, что, однако, не подарило ему симпатии Пифагорейского братства: его объявили отступником и утопили в море.
Когда рациональное число записано в виде десятичной дроби, оно всегда или содержит конечный набор цифр, как, например, >1/>2, которая записывается в виде 0,5, или же разложение рано или поздно начинает повторяться, как, например, для числа >1/>3, которое записывается в виде 0,3333…, где тройки продолжаются без конца. Иногда число «зацикливается» через более чем одну цифру — так обстоит дело с дробью >1/>19, которая записывается как 0,0526315789473684210…, где 18-значный период 526315789473684210 повторяется до бесконечности. Наоборот — и в этом-то все дело! — когда число иррационально, его десятичное разложение никогда не будет повторять само себя.
В 1767 году швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт доказал, что π — именно такое иррациональное число. Его первоисследователи еще могли надеяться, что вслед за начальным хаосом в 3,14159… сумбур уляжется и наконец-то появится закономерность. Однако открытие Ламберта подтвердило, что это невозможно. Десятичное разложение числа π стремится в бесконечность некоторым предопределенным, но с виду совершенно беспорядочным образом.
* * *
Математики, занимавшиеся иррациональностями, страстно желали навести в них какой-то порядок. В XVIII столетии ученые начали размышлять об иррациональностях специального типа, получивших название трансцендентных чисел. То были числа столь таинственные и неуловимые, что получить их в конечной математике было нельзя. Квадратный корень из двух, например, — иррациональное число, но его можно описать как решение уравнения x>2 = 2. Трансцендентное же число — это такое иррациональное, которое нельзя описать никаким уравнением с конечным числом членов. Когда концепция трансцендентных чисел впервые стала обсуждаться, никто не знал даже, существуют ли они вообще.
Оказалось, они действительно существуют, но прошло около ста лет до тех пор, пока были найдены первые их примеры — это сделал французский математик Жозеф Лиувилль. Числа π среди них не было. Только еще спустя 40 лет Фердинанд фон Линдеманн смог доказать, что число π и в самом деле трансцендентно, то есть существует за пределами царства конечной алгебры.
Открытие Линдеманна было ключевым моментом в теории чисел. Оно также раз и навсегда решило проблему, являвшуюся, пожалуй, самой знаменитой нерешенной задачей в математике: можно ли квадрировать круг или этого сделать нельзя. Но чтобы объяснить, как это следовало из результата Линдеманна, надо ввести уравнение, которое гласит, что площадь круга есть