Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики (Беллос) - страница 90

, где r — радиус. Наглядное доказательство, почему это так, представляет собой тот случай, когда лучшей метафорой для числа π является пирог. Представьте себе, что у вас два круглых пирога одного и того же размера, белый и серый, как на рисунке А. Длина окружности каждого пирога — произведение π и диаметра, то есть π, умноженное на удвоенный радиус, или 2πr. После разрезания на равные сегменты куски можно сложить по-другому, как показано на рисунке В (там взяты четвертинки пирогов) или С (где пироги порезаны на десять кусков каждый). В обоих случаях длина стороны остается равной 2πr. Если делать куски все меньше и меньше, то получившаяся фигура в конце концов станет прямоугольником, как показано на рисунке D, причем стороны прямоугольника будут равны r и 2πr. Площадь прямоугольника — а она равна площади двух пирогов — поэтому равна 2πr^>2, так что площадь одного пирога равна πr^>2.

Как показать, что площадь круга равна πr^>2

Чтобы квадрировать круг, нам надо, используя только циркуль и линейку, построить квадрат, который имеет в точности ту же площадь, что и круг, ограниченный заданной окружностью. Мы теперь знаем, что линия длиной r — это радиус окружности, площадь круга внутри которой равна πr^>2, а также что у квадрата с площадью πr^>2 сторона должна иметь длину r√π (поскольку (r√π)^>2 = r^>2(√π)^>2 = r^>2π = πr^>2). Так что превращение окружности в квадрат можно свести к задаче построения длины r по заданной длине r. Или, если для удобства взять r равным 1, то к построению отрезка длины, если дан отрезок длины 1.

Используя координатную геометрию, о которой мы будем говорить в следующей главе, можно выразить процесс построения линии алгебраически, в виде конечного уравнения. Можно показать, что коль скоро x есть решение конечного уравнения, то начиная с отрезка длины 1 можно построить отрезок длины x. Но если x не есть решение какого-либо конечного уравнения — другими словами, если x трансцендентно, — то построить отрезок длины x невозможно. Ну, а тот факт, что π трансцендентно, означает, что квадратный корень из π также трансцендентен (тут вам предстоит поверить мне на слово), и отрезок такой длины построить невозможно. Трансцендентность числа π доказывает, что круг нельзя квадрировать.

Данное Линдеманном доказательство трансцендентности числа π перечеркнуло мечту бессчетного числа математиков. И тем не менее в 1897 году Законодательным собранием штата Индиана был выпущен знаменитый билль, содержавший доказательство квадратуры круга неким Е. Дж. Гудвином, местным сельским врачом, который преподнес свое доказательство в качестве «дара штату Индиана». Разумеется, этот сельский энтузиаст заблуждался. После доказательства Фердинанда фон Линдеманна, представленного им в 1882 году, математики, говоря о ком-то, что «он занимается квадратурой круга», имеют в виду, что он занимается чушью, в общем, чудак.