.
Я послал эту диковинку, обнаруженную доктором Матриксом, своему другу Оуэну О'Ши, который родом из ирландского города Cobh (произносится «Коув»). Он — автор недавно вышедших «Магических чисел Профессора»
[66]. В ответ Оуэн написал мне о множестве других удивительных свойств этого якобы «неинтересного» алфавитного числа. Например, оно раскладывается по степеням простых чисел как произведение 210, 33,5 и 61843. Это означает, что 8 549 176 320 без остатка делится на все числа от 1 до 9, исключая 7. Множитель 61 843 (тоже простое число) возникает довольно неожиданно.
О'Ши двумя способами делит число 8 549 176 320 по разрядам, получив следующее уравнение:
854 + 917 + 632 + 0 = 8 · 5 · 49 + (1 · 7 · 63) + 2 + 0
Каждая часть равна 2403.
Затем О'Ши составил число, воспользовавшись обратным алфавитным порядком, и получил 0 236 719 458. Представив разряды этого числа в виде слагаемых: 0 + 2367 + 19 + 4 + 5 + 8, — он снова пришел к сумме 2403.
Два американских математика, Джеймс Смоук и Томас Дж. Ослер, в своей книге «Волшебный трюк Фибоначчи»
[67]сообщают еще об одном удивительном фокусе. Возьмем дробь 100/89. В десятичном виде она равна 1,123 595 505 61… Первые пять цифр в ней — это первые пять чисел Фибоначчи
[68].
Добавьте два нуля в числитель и по девятке в начало и конец знаменателя, и у вас получится дробь 10000/9899, то есть
1,0102030508132134559046368…
Заметьте: первая единица, а затем девять следующих
парцифр представляют собой десять первых чисел в ряду Фибоначчи!
Авторы приводят доказательство, что если такую процедуру повторять бесконечно, то можно получить
всечисла Фибоначчи из этого ряда! Каждый следующий шаг увеличивает количество получаемых чисел Фибоначчи на пять. Таким образом, если представить дробь 1000000/998999 в десятичном виде и объединить составляющие ее цифры в триады, мы увидим, что перед нами первые
пятнадцатьчисел Фибоначчи; следующий шаг даст нам первые двадцать пять элементов ряда, и так до бесконечности!
Этот забавный случай рассмотрен в упражнении G43 «Конкретной математики» Грэхема, Кнута и Паташника
[69], заметивших, что данное явление впервые обнаружили Брук и Уолл (дается ссылка на их статью в «Fibonacci Quarterly»)
[70]. Кнут сообщил мне, что похожие дроби, такие как 1000000/989899 и 1000000000/898998999, сходным образом порождают числа трибоначчи!
Полагаю, мало кто из математиков догадывается, что ряд Фибоначчи может служить основой для арифметической записи. Каждое целое положительное число можно уникальным способом выразить как сумму некоторого набора чисел Фибоначчи, не следующих одно за другим. Знаете ли вы, что двенадцатое число Фибоначчи — квадрат двенадцати, 144? Это единственное число Фибоначчи, являющееся полным квадратом, если не считать 1. А «кубы Фибоначчи» — только 1 и 8. Другие забавные подробности см. в главе 13 моего «Математического цирка»